§2.1变量分离方程与变量变换 dv(x) 「f(x)dk+C(2.2) 8(y(x) 这里C是使得2.2)有意义的任意常数.这说明(2.2)的任意一个解必须满足方程 设 ∫g+c n-·r-eh+C (2.3) 则(2.3)可写为 Φ(y)=F(x)+C (2.4) 下面证明，方程(2.4)，既(2.2)存在隐函数yy),它是(2.1)的解。 从而(2.2)是(2.1)的解. 结束 帮助 返正
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( ) ( ) (2.2) ( ( )) dy x f x dx C g y x = + 这里C是使得(2.2)有意义的任意常数.这说明(2.2) 的任意一个解必须满足方程 ( ) ( ) dy f x dx C g y = + ( ) ( ) ( ( )) dy x y g y x = F x f x dx C ( ) ( ) (2.3) = + ， = + ( ) ( ) (2.4) y F x C 设 则(2.3)可写为 下面证明，方程(2.4) ，既(2.2)存在隐函数 y=y(x) ，它是(2.1)的解. 从而(2.2) 是(2.1)的解. §2.1 变量分离方程与变量变换
§2.1变量分离方程与变量变换 事实上，由于Fx)gy)连续且g(y)≠0，故由隐函数存在定理，(2.4)存 在唯一的隐函数yyx)连续，可微。 所以D(y(x)=F(x)+C 即 9=∫fx)k+C g(y(x)) 两边对x求导： y(x) =f(x) ()=「(x). g(y(x)) dyo(y(x)) dx 或Jy'(x)=f(x)p(y(x) 这表明y=yx)是(2.1)的解.从而2.4)是(2.1)的解 综上所述，求(2.1)的解的问题就化成了求(2.1)'两端的积分，并从 (2.4)中求yx)的问题。 结束 帮助 上一面意扳同下顶<2必 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 所以 + ( ( )) ( ) y x F x C 事实上，由于F(x),g(y)连续且g(y)0,故由隐函数存在定理, (2.4)存 在唯一的隐函数 y=y(x) 连续，可微. ( ) ( ) ( ( )) dy x f x dx C g y x + 即 两边对x求导: ' ( ) ( ) ( ( )) y x f x g y x = ' 或 y x f x y x ( ) ( ) ( ( )) = 这表明y=y(x)是(2.1)的解.从而(2.4) 是(2.1)的解. 综上所述，求(2.1)的解的问题就化成了求(2.1)'两端的积分， 并从 (2.4)中求y(x)的问题。 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) d dy x d dy x dy dx y x dy y x dx = ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) d dy x d dy x dy dx y x dy y x dx = §2.1 变量分离方程与变量变换
§2.1变量分离方程与变量变换 2.若存在y=yo,使得g(y)=0. 此时y=也是(2.1)的一个解。 所以(2.1)除了通积分(2.2)，还可能有一些常数解。 例2.求解方程少 =y2cosx,并求出满足初始条件 y(0)=1的解。 解：首先，将方程分离变量得 y cos xdx (设y≠0) 对两边积分推出 =sinx+c (☒) 这里c为任意常数，但是无论c取怎样的常数值，这个解都 不包含原来方程的解y=0,因而原方程的一切解应由上述 通解和解y=0组成 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 0 0 ２. ( ) 0. 若存在y y g y = = ，使得 0 此时y y = 也是(2.1)的一个解。 所以(2.1)除了通积分(2.2)，还可能有一些常数解。 2 (0) s 1 2. co dy y x dx y = = 例 １求解方程 ，并求出满足初始条件 的解。 解: 首先，将方程分离变量得 2 cos ( 0) dy xdx y y = 设 对两边积分推出 1 sin ( ) x c y − = + 这里c为任意常数，但是无论c取怎样的常数值，这个解都 不包含原来方程的解 y=0，因而原方程的一切解应由上述 通解和解 y=0组成. §2.1 变量分离方程与变量变换
§2.1变量分离方程与变量变换 其次，为了求出给定初值问题的特解，不难看出解y=0显 然不满足初始条件，因此只能在通解中去找出所需要的解 为此在方程（⑧）中令x=0,Jy=0即得c=-1,于是所求初值问题 的解为 y= 1-sinx 例2.2 求出方程 的通解。 dx 1-x2 解： 显然y=士1是方程的解.令y≠士1，将方程进行变量分离得 1 A-= 1 对两边积分推出 arcsin y=arcsinx+C 结束 上一页返回下一页<2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 2 2 2.2 1 1 dy y dx x − = − 例 求出方程 的通解。 2 2 1 1 1 1 dy dx y x = − − 解： 对两边积分推出 显然y=±1是方程的解.令y ±1，将方程进行变量分离得 arcsin arcsin y x C = + 其次，为了求出给定初值问题的特解，不难看出解y=0显 然不满足初始条件，因此只能在通解中去找出所需要的解. 为此在方程()中令x=0, y=0 即得 c= -1,于是所求初值问题 的解为 1 1 sin y x = − §2.1 变量分离方程与变量变换
§2.1变量分离方程与变量变换 其中C为任意常数.因此通解为 y=sin(arcsinx+c) 例2.3 求解方程J+(x2-4x)=0. 解：y=O是方程的解y≠0时，将方程进行变量分离得： 1，k+1d=0 x2-4x 两边积分得 5gix-C 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 y x c = + sin(arcsin ) 其中C为任意常数. 因此通解为 2 1 1 0 4 dx dy x x y + = − 2 0 1 1 ln 4 dx dy C x x y = − + − 2 例2.3 求解方程 ydx x x dy + − = ( 4 ) 0. y=0是方程的解.y 0时，将方程进行变量分离得: 两边积分得 解 : §2.1 变量分离方程与变量变换