174第十六章含参变量的积分816.2含参变量的广义积分如同Riemann积分的推广一样，含参变量的积分也有两方面的推广。一是积分区间可以是无穷区间，二是被积函数可能有瑕点。为了简单起见，我们以无穷积分为例进行讨论，带有瑕点的含参变量的积分可类似地讨论916.2.1一致收敛及其判别法设f(,y)是定义在矩形[a,oo)×[c,d]中的函数,且对于每一个yE[c,d],关于的函数f(,y)在[a,)中广义可积,则定义I(y) =f(a,y)da,ye[c,d],(16.2)称为含参变量的广义积分，其中y是参数定义16.2.1(一致收敛)。如果任给>0,存在与y无关的Ao=Ao(e)>a;当 A,A'>Ag时,对一切 y E[c,d],成立f(a,)da|<e,或 1/f(a, )da|<e,则称含参变量的广义积分f(a,y)dr关于ye[c,d]一致收敛定义中的区间[c,d]也可以换成其它类型的区间。对于带有瑕点的无界函数，也有类似的一致收敛的概念。例如，设对于每一个yE[c,d，以b为瑕点的瑕积分f(z,y)d存在，如果任给>0,存在80=8o(e)>0,当0<n,n<0时，对[c,d]上的一切y,成立“f(r,y)de<或.f(r,y)da|<e则称f(a,y)da关于ye[c,d]一致收敛例16.2.1.研究含参变量的广义积分ye-rydaI(y) =的一致收敛性，显然，对每个y≥0,积分都是收敛的。又因为ye-rydar=e-yA
174 第十六章 含参变量的积分 §16.2 含参变量的广义积分 如同 Riemann 积分的推广一样, 含参变量的积分也有两方面的推广. 一是积 分区间可以是无穷区间, 二是被积函数可能有瑕点. 为了简单起见, 我们以无穷积 分为例进行讨论, 带有瑕点的含参变量的积分可类似地讨论. §16.2.1 一致收敛及其判别法 设 f(x, y) 是定义在矩形 [a, ∞) × [c, d] 中的函数, 且对于每一个 y ∈ [c, d], 关于 x 的函数 f(x, y) 在 [a, ∞) 中广义可积, 则定义 I(y) = ∫ ∞ a f(x, y)dx, y ∈ [c, d], (16.2) 称为含参变量的广义积分, 其中 y 是参数. 定义 16.2.1 (一致收敛). 如果任给 ε > 0, 存在与 y 无关的 A0 = A0(ε) > a, 当 A, A0 > A0 时, 对一切 y ∈ [c, d], 成立 ∫ A 0 A f(x, y)dx < ε, 或 ∫ ∞ A f(x, y)dx < ε, 则称含参变量的广义积分 ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 定义中的区间 [c, d] 也可以换成其它类型的区间. 对于带有瑕点的无界函数, 也有类似的一致收敛的概念. 例如, 设对于每一个 y ∈ [c, d], 以 b 为瑕点的瑕积分 ∫ b a f(x, y)dx 存在, 如果任给 ε > 0, 存在 δ0 = δ0(ε) > 0, 当 0 < η, η0 < δ0 时, 对 [c, d] 上的一切 y, 成立 ∫ b−η 0 b−η f(x, y)dx < ε 或 ∫ b b−η f(x, y)dx < ε, 则称 ∫ b a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 例 16.2.1. 研究含参变量的广义积分 I(y) = ∫ ∞ 0 ye−xydx 的一致收敛性. 显然, 对每个 y ≥ 0, 积分都是收敛的. 又因为 ∫ ∞ A ye−xydx = e −yA
916.2含参变量的广义积分175故I(y)对于yE[6,oo）一致收敛，其中为任意正实数.从上式也可以看出I(g)口对于E[0,8o)并不是一致收敛的和广义积分以及无穷级数一样，我们也有关于含参变量广义积分的一致收敛的判别法.(1)（Weierstrass）如果存在函数F(a)，使得If(r,y)l < F(r), V (t,y) e[a, oo) ×[c,d],且积分F()da收敛，,则/f(z,y)da关于ye[c,d一致收敛.这个判别法的证明只要注意到下面的不等式就可以了：1/ f(a, v)da| ≤/ / F(n)dal(2)(Dirichlet)设f(z,y),g(寸,)满足下列条件：(i)当A→时，积分/f(z,)d关于yE[c,d)一致有界，即存在常数K，使得/f(,)da≤K, VA[a, 0), yE[c,d];(i) g(r,y)是的单调函数,且当→o时 g(a,y)关于y[c,d) 一致地趋于零，即任给>0,存在Ag=Ao(e),当≥Ao时Ig(r,y)l <e, Vye[c,d];则含参变量的广义积分f(a,y)g(a,y)da关于yE[c,d一致收敛.这个判别法的证明是这样的：根据题设，当A,A'≥α时，有 f(,)a≤1/ (,)da|+1 /(a,0)≤2K,根据积分第二中值公式，当A,A'>A时，有(≤2Ke+2Ke=4Ke,这说明了积分的一致收敛性。(3)(Abel)设f(a,y),g(t,y)满足下列条件(i)积分f(ar,y)dr关于ye[c,d一致收敛；
§16.2 含参变量的广义积分 175 故 I(y) 对于 y ∈ [δ, ∞) 一致收敛, 其中 δ 为任意正实数. 从上式也可以看出 I(y) 对于 y ∈ [0, ∞) 并不是一致收敛的. 和广义积分以及无穷级数一样, 我们也有关于含参变量广义积分的一致收敛的 判别法. (1) (Weierstrass) 如果存在函数 F(x), 使得 |f(x, y)| ≤ F(x), ∀ (x, y) ∈ [a, ∞) × [c, d], 且积分 ∫ ∞ a F(x)dx 收敛, 则 ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 这个判别 法的证明只要注意到下面的不等式就可以了: ∫ A 0 A f(x, y)dx ≤ ∫ A 0 A F(x)dx . (2) (Dirichlet) 设 f(x, y), g(x, y) 满足下列条件: (i) 当 A → ∞ 时, 积分 ∫ A a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致有界, 即存在常 数 K, 使得 ∫ A a f(x, y)dx ≤ K, ∀ A ∈ [a, ∞), y ∈ [c, d]; (ii) g(x, y) 是 x 的单调函数, 且当 x → ∞ 时 g(x, y) 关于 y ∈ [c, d] 一致地 趋于零, 即任给 ε > 0, 存在 A0 = A0(ε), 当 x ≥ A0 时 |g(x, y)| < ε, ∀ y ∈ [c, d]; 则含参变量的广义积分 ∫ ∞ a f(x, y)g(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 这个判别法的证明是这样的: 根据题设, 当 A, A0 ≥ a 时, 有 ∫ A 0 A f(x, y)dx ≤ ∫ A a f(x, y)dx + ∫ A 0 a f(x, y)dx ≤ 2K. 根据积分第二中值公式, 当 A, A0 > A0 时, 有 ∫ A 0 A f(x, y)g(x, y)dx ≤ |g(A, y)| ∫ ξ(y) A f(x, y)dx + |g(A 0 , y)| ∫ A 0 ξ(y) f(x, y)dx ≤ 2Kε + 2Kε = 4Kε, 这说明了积分的一致收敛性. (3) (Abel) 设 f(x, y), g(x, y) 满足下列条件: (i) 积分 ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛;
176第十六章含参变量的积分(i) g(z,y)是的单调函数,且关于yE[c,d) 一致有界;则含参变量的广义积分f(a,y)g(a,y)d关于ye[c,d]一致收敛这个判别法的证明仍然是运用积分第二中值公式，我们留给读者完成对于含参变量的瑕积分，上述判别法也有类似的表现形式。我们以下仅举例来研究一致收敛性.例16.2.2.研究积分asin adarI(α) =关于αE(0,)的一致收敛性，当α≥8>0时，因为le-α sin ae-sr,而积分e-5adar收敛，故由Weierstrass判别法知积分I(a）关于αE[,oo）致收敛.I(α)关于αE(0,)不是一致收敛的，这是因为当α→0时，e-a sinrdr-sin dr = cos A - cos A',口取A=2n元，A=2nπ+元2即知上式不趋于零例16.2.3.研究积分I(αa)关于αE[0,)的一致收敛性，[~sidr收敛,这个积分不含参变量α,因而关于α一致收敛。函因为积分数e-aa关于单调，且当α,≥0时0≤e-a≤1,故由Abel判别法知I(α)关口于αE[0.)一致收敛$16.2.2一致收敛积分的性质我们在本小节讨论含参变量的广义积分所确定的函数的连续性质，积分性质和微分性质等.引理16.2.1(连续性质).设f(z,9)在[a,oo)×[c,d)中连续，(16.2)式中的含参变量积分I(y)关于yE[c,d]一致收敛，则I(y)关于yE[c,d]连续
176 第十六章 含参变量的积分 (ii) g(x, y) 是 x 的单调函数, 且关于 y ∈ [c, d] 一致有界; 则含参变量的广义积分 ∫ ∞ a f(x, y)g(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 这个判别法的证明仍然是运用积分第二中值公式, 我们留给读者完成. 对于含参变量的瑕积分, 上述判别法也有类似的表现形式. 我们以下仅举例来 研究一致收敛性. 例 16.2.2. 研究积分 I(α) = ∫ ∞ 0 e −αx sin x dx 关于 α ∈ (0, ∞) 的一致收敛性. 当 α ≥ δ > 0 时, 因为 |e −αx sin x| ≤ e −δx , 而积分 ∫ ∞ 0 e −δxdx 收敛, 故由 Weierstrass 判别法知积分 I(α) 关于 α ∈ [δ, ∞) 一 致收敛. I(α) 关于 α ∈ (0, ∞) 不是一致收敛的, 这是因为当 α → 0 时, ∫ A 0 A e −αx sin x dx → ∫ A 0 A sin x dx = cos A − cos A 0 , 取 A = 2nπ, A0 = 2nπ + π/2 即知上式不趋于零. 例 16.2.3. 研究积分 I(α) = ∫ ∞ 0 e −αx sin x x dx 关于 α ∈ [0,∞) 的一致收敛性. 因为积分 ∫ ∞ 0 sin x x dx 收敛, 这个积分不含参变量 α, 因而关于 α 一致收敛. 函 数 e −αx 关于 x 单调, 且当 α, x ≥ 0 时 0 ≤ e −αx ≤ 1, 故由 Abel 判别法知 I(α) 关 于 α ∈ [0, ∞) 一致收敛. §16.2.2 一致收敛积分的性质 我们在本小节讨论含参变量的广义积分所确定的函数的连续性质, 积分性质和 微分性质等. 引理 16.2.1 (连续性质). 设 f(x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, (16.2) 式中的含 参变量积分 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 则 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
916.2含参变量的广义积分177证明.根据题设，任给=>0,存在A>0.使得f(a,y)dr ≤e, Vye[c,d].注意到f(a,y)在[a,A]×[c,d]中一致连续,因此存在>0,当1,2[c,d]且[y1 - y2] < 8 时I5(,u)-f(a, 2)]≤-a, Vae[a,).此时[(yu1) - I(y2)] =/ /αf(z,y1)da - / f(z, y2)da|≤1/(a, n)a|+1/(a,u2)dIf(r,y1) - f(a, y2)]da<++(A-a)-= 3eA-口这说明I(y)关于y连续.定理16.2.2（积分性质之一).设f(,9)在[a,0o)×[c,d)中连续，(16.2)式中的含参变量积分 I(y)关于[c,d)一致收敛，则[da / f(r,u)dy= / I(o)dy= / dy /f(r,y)dr证明.根据题设，任给=>0,存在A>0,当A>A时I/f(,)e, ye[ed此时，有(o)dy - J (,v)dya|-1 (o)dy- J /(z)drdy)l=1 / / f(,v)drdyl≤ (d -c)e,口根据广义积分的定义可知欲证等式成立例16.2.4.设α，β>0,计算积分cos ar - cos βr2drr2
§16.2 含参变量的广义积分 177 证明. 根据题设, 任给 ε > 0, 存在 A > 0, 使得 ∫ ∞ A f(x, y)dx ≤ ε, ∀ y ∈ [c, d]. 注意到 f(x, y) 在 [a, A] × [c, d] 中一致连续, 因此存在 δ > 0, 当 y1, y2 ∈ [c, d] 且 |y1 − y2| < δ 时 |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ ε A − a , ∀ x ∈ [a, b]. 此时 |I(y1) − I(y2)| = ∫ ∞ a f(x, y1)dx − ∫ ∞ a f(x, y2)dx ≤ ∫ ∞ A f(x, y1)dx + ∫ ∞ A f(x, y2)dx + ∫ A a |f(x, y1) − f(x, y2)|dx ≤ ε + ε + (A − a) ε A − a = 3ε, 这说明 I(y) 关于 y 连续. 定理 16.2.2 (积分性质之一). 设 f(x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, (16.2) 式中 的含参变量积分 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 则 ∫ ∞ a dx ∫ d c f(x, y)dy = ∫ d c I(y)dy = ∫ d c dy ∫ ∞ a f(x, y)dx. 证明. 根据题设, 任给 ε > 0, 存在 A0 > 0, 当 A > A0 时 ∫ ∞ A f(x, y)dx ≤ ε, ∀ y ∈ [c, d]. 此时, 有 ∫ d c I(y)dy − ∫ A a ∫ d c f(x, y)dydx = ∫ d c I(y)dy − ∫ d c ∫ A a f(x, y)dxdy = ∫ d c ∫ ∞ A f(x, y)dxdy ≤ (d − c)ε, 根据广义积分的定义可知欲证等式成立. 例 16.2.4. 设 α, β > 0, 计算积分 I = ∫ ∞ 0 cos αx − cos βx x 2 dx.
178第十六章含参变量的积分simda关于gE[6,)(6>0)一致收效，利用积分次序的解.由于积分r可交换性得Bcos βrdaososin(yr)dyr2sin(yz),daTα)sin yz dr =口其中，当y>0时，我们用到了积分2T定理16.2.3(微分性质).设f(a,y)和fy(a,y)在[a,oo)×[c,d]中连续，如果积分 (y)=fy(a,y)dr关于yE[c,d]一致收敛，且存在yo E[c,d]，使得积分f(z;yo)da收敛，则积分 I(u)=f(ar,3)da关于yE[c,d)一致收敛,且I'(g) = (u) = / fy(r,y)da.证明.根据题设，任给>0,存在A>0,当A,A≥Ag时， f(a,yo)dae; I/ f(a,)dae, Vye[ed.此时,任给 1 E[c,d],有[ f(, 1)da| ≤/ / (a, y0)da| +1 / [5(c, 1) - f(a, y0)]da|=()+()()a+f()d≤=+ [31 - yole≤e + (d - c)e,这说明I(g)关于yE[c,d]一致收敛.当 y1,92E[c,d]时，由定理16.2.2和题设可得(u)dy="fu(r,y)dyda[f(r, 2) -f(z, y1)]da= I(y2) - I(y1)口这说明I(y)可导，且I'(y)=d(y)
178 第十六章 含参变量的积分 解. 由于积分 ∫ ∞ 0 sin yx x dx 关于 y ∈ [δ, ∞) (δ > 0) 一致收敛, 利用积分次序的 可交换性得 ∫ ∞ 0 cos αx − cos βx x 2 dx = ∫ ∞ 0 dx x ∫ β α sin(yx)dy = ∫ β α dy ∫ ∞ 0 sin(yx) x dx = π 2 (β − α). 其中, 当 y > 0 时, 我们用到了积分 ∫ ∞ 0 sin yx x dx = π 2 . 定理 16.2.3 (微分性质). 设 f(x, y) 和 fy(x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, 如果 积分 ψ(y) = ∫ ∞ a fy(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 且存在 y0 ∈ [c, d], 使得积分 ∫ ∞ a f(x, y0)dx 收敛, 则积分 I(y) = ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 且 I 0 (y) = ψ(y) = ∫ ∞ a fy(x, y)dx. 证明. 根据题设, 任给 ε > 0, 存在 A0 > 0, 当 A, A0 ≥ A0 时, ∫ A 0 A f(x, y0)dx ≤ ε; ∫ A 0 A fy(x, y)dx ≤ ε, ∀ y ∈ [c, d]. 此时, 任给 y1 ∈ [c, d], 有 ∫ A 0 A f(x, y1)dx ≤ ∫ A 0 A f(x, y0)dx + ∫ A 0 A [f(x, y1) − f(x, y0)]dx = ∫ A 0 A f(x, y0)dx + ∫ A 0 A ∫ y1 y0 fy(x, y)dydx = ∫ A 0 A f(x, y0)dx + ∫ y1 y0 ∫ A 0 A fy(x, y)dxdy ≤ ε + |y1 − y0|ε ≤ ε + (d − c)ε, 这说明 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 由定理 16.2.2 和题设可 得 ∫ y2 y1 ψ(y)dy = ∫ ∞ a ∫ y2 y1 fy(x, y)dydx = ∫ ∞ a [f(x, y2) − f(x, y1)]dx = I(y2) − I(y1). 这说明 I(y) 可导, 且 I 0 (y) = ψ(y).