【新教材】8.6.1直线与直线垂直（人教A版）教材分析直线与直线垂直是所有垂直关系的基础，在初中已经学过矩形，直角三角形等垂直关系，本节教材重点介绍了异面直线所成角，对平面中直线与直线的垂直关系进一步深化.也为后续线面垂直、面面垂直打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角；2.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质数学学科素养1.逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直2.数学运算：求两异面直线所成角教学重难点重点：求两异面直线所成角难点：求两异面直线所成角课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入观察长方体，你能发现长方体ABCD一AB'CD'中，线段AB所在的直线与线段C'C所在直线的位置关系如何？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探二、预习课本，引入新课阅读课本146-148页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线所成角？2、异面直线所成角的范围是多少？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.异面直线所成的角(1）定义：已知两条异面直线a,b经过空间任一点O作直线a//a.b//b,则a与b所成的锐角（或直角）叫做
【新教材】8.6.1 直线与直线垂直（人教 A 版） 直线与直线垂直是所有垂直关系的基础，在初中已经学过矩形，直角三角形等垂直关系，本节教材重 点介绍了异面直线所成角，对平面中直线与直线的垂直关系进一步深化.也为后续线面垂直、面面垂直打下 基础. 课程目标 1. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角； 2. 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 数学学科素养 1. 逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直. 2．数学运算：求两异面直线所成角 重点：求两异面直线所成角. 难点：求两异面直线所成角. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、 情景导入 观察长方体，你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中，线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线的位置关 系如何？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 146-148 页，思考并完成以下问题 1、什么是异面直线所成角？ 2、异面直线所成角的范围是多少？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做
异面直线a与b所成的角（或夹角）(2)异面直线所成的角的取值范围：0<0≤90°(3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直记作a工b四、典例分析、举一反三题型一证明两直线垂直例1如图，在正方体ABCD-A,BC,D,中，O,为底面ABCD,的中心求证AO,1BD【答案】见解析【解析】如图所示：连接BD，AD，AB，AO：ABCD-ABCD,是正方体BB,/DDB四边形BBD,D是平行四边形BD//BD：直线AO与B,D所成的角即为直线AO.与BD所成的角连接AB，AD，易证AB,=AD.又O,为底面ABCD的中心，O为BD的中点AO1BD：AO1BD解题技巧（证明两直线垂直的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理；(2)定义法：即证明两条直线夹角是90°；(3)利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线跟踪训练一1.如图，在直三棱柱ABC-A,BC,中，CA=CB，P为AB的中点，Q为棱CC的中点，求证：PQ工AB
异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°. (3)如果两条异面直线 a,b 所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作 a⊥b. 四、典例分析、举一反三 题型一 证明两直线垂直 例 1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O1 为底面 A1B1C1D1的中心.求证 AO1 BD 【答案】见解析 【解析】如图所示：连接 B1D1 ， 1 1 1 AD , AB , AO ABCD A1B1C1D1 是正方体 1 1 BB //DD . ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形 1 1 B D / /BD . ∴直线 AO1 与 B1D1 所成的角即为直线 AO1 与 BD 所成的角. 连接 1 1 AB , AD ，易证 AB1 AD1 .又O1 为底面 A1B1C1D1的中心， O1为 B1D1 的中点 AO1 B1D1 AO1 BD 解题技巧（证明两直线垂直的常用方法） (1)利用平面几何的结论,如矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理; (2)定义法:即证明两条直线夹角是 90°; (3)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线. 跟踪训练一 1．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA CB ，P 为 A1B 的中点，Q 为棱C1C 的中点，求证：PQ AB
B【答案】见解析【解析】如图，取AB的中点D，连接CD、DP,1：P为AB的中点，.PD=AA2-又：Q为CC,的中点，.COAA，=2..PD/ICO.四边形CDPQ为平行四边形，.CD//PQ又CA=CB，D为AB的中点，..CDIAB,.PQIAB题型二求异面直线所成的角例2如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AO1OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=/Z,求异面直线AB与CD所成角的余弦值A10BE【答案】4【解析】取AC的中点M连接OMME.OE，A由E为BC的中点知MEIIAB,由O为BD中点知OE//DC所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
。 【答案】见解析. 【解析】 如图，取 AB 的中点 D，连接 CD、DP， ∵P 为 A1B 的中点， 1 1 // 2 PD AA . 又∵Q 为CC1 的中点， 1 1 // 2 CQ AA ， PD//CQ . ∴四边形 CDPQ 为平行四边形，CD//PQ . 又CA CB，D 为 AB 的中点，CD AB,PQ AB . 题型二 求异面直线所成的角 例 2 如图,在三棱锥 A-BCD 中,O,E 分别是 BD,BC 的中点,AO⊥OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 ,求异面 直线 AB 与 CD 所成角的余弦值. 【答案】 2 4 . 【解析】取 AC 的中点 M, 连接 OM,ME,OE, 由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB, 由 O 为 BD 中点知 OE∥DC, 所以直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角
在AOME中,EM-↓AB=,,OE=↓ DC=1,222因为OM是RtAAOC斜边AC上的中线所以 OM==AC=1,2取EM的中点H连OH则OHIEM1V2在 RtAOEH 中,所以 cosZOEM=5OE14.解题技巧（求异面直线所成角的一般步骤）求异面直线所成角的一般步骤：(1)找（或作出）异面直线所成的角一一用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线(2)求一一转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论--设(2)所求角大小为0.若0°<0≤90°则e即为所求；若90°<0<180°则180°-0即为所求跟踪训练二1、如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=V,求异面直线AD,BC所成角的大小C【答案】60°【解析】如图取BD的中点M连接EM.FM4MC因为E,F分别是AB,CD的中点,1-BC所以EMADFM22则ZEMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角因为 AD=BC=2,所以EM=MF=1
在△OME 中,EM= 1 2 AB= 2 2 ,OE= 1 2 DC=1, 因为 OM 是 Rt△AOC 斜边 AC 上的中线, 所以 OM= 1 2 AC=1, 取 EM 的中点 H,连 OH,则 OH⊥EM, 在 Rt△OEH 中,所以 cos∠OEM= EH OE = 1 2 2 2 1 = 2 4 . 解题技巧 (求异面直线所成角的一般步骤) 求异面直线所成角的一般步骤: (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线. (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角. (3)结论——设(2)所求角大小为θ.若 0°<θ≤90°,则θ即为所求;若 90°<θ<180°,则 180°-θ即为所求 跟踪训练二 1、如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,若 EF= 3 ,求异面直线 AD,BC 所成角 的大小. 【答案】60°． 【解析】如图,取 BD 的中点 M,连接 EM,FM. 因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 所以 EM 1 2 AD,FM 1 2 BC, 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD,BC 所成的角. 因为 AD=BC=2, 所以 EM=MF=1
在等腰AMEF中,过点M作MH工EF于H,在 RIAMHE 中,EM-1,EH=,EF-,V3则sinZEMH=222于是ZEMH=60°则ZEMF=2ZEMH=120°所以异面直线AD,BC所成的角为ZEMF的补角即异面直线AD.BC所成的角为60°五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.6.1直线与直线垂直例21、异面直线所成角例 1定义范围七、作业课本148页练习，162页11题.教学反思本节课的重点是通过将异面直线平移至同一平面求异面直线所成角，学生做题的时候注意：①确定两条直线所在图形的特点：②所求角是夹角还是补角
在等腰△MEF 中,过点 M 作 MH⊥EF 于 H, 在 Rt△MHE 中,EM=1,EH= 1 2 EF= 3 2 ,则 sin∠EMH= 3 2 , 于是∠EMH=60°, 则∠EMF=2∠EMH=120°. 所以异面直线 AD,BC 所成的角为∠EMF 的补角, 即异面直线 AD,BC 所成的角为 60°. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 8.6.1 直线与直线垂直 1、异面直线所成角 例 1 例 2 定义 范围 七、作业 课本 148 页练习，162 页 11 题. 本节课的重点是通过将异面直线平移至同一平面求异面直线所成角，学生做题的时候注意：①确定两 条直线所在图形的特点；②所求角是夹角还是补角