导航 3)求二面角的大小 如图①，AB,CD是二面角a--的两个半平面内与棱垂直的直 线，则二面角的大小0=<AB,CD> 图①
导航 (3)求二面角的大小 如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直 线,则二面角的大小 θ=<𝑨 𝑩 , 𝑪 𝑫 >. 图①
导航 +n2 图② 图③ 如图②③，n1,n2分别是二面角--的两个半平面a的法向量， 则二面角的大小0满足cos0= 或 ,取值 范围是0，π
导航 图② 图③ 如图②③,n1 ,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量, 则二面角的大小θ满足cos θ= cos<n1 ,n2> 或 -cos<n1 ,n2> ,取值 范围是[0,π]
导航 2.做一做：(1)若直线的方向向量与，的方向向量的夹角是 150°，则11与L2这两条异面直线所成的角等于 (2)已知直线的一个方向向量a=(2,1,-2),n=(2,-1,4)是平面a的 一个法向量，则1与α所成角的正弦值为 3)若钝二面角的两个半平面的法向量分别为1=(1,0，-1)， n2=(1,1,2),则此二面角的大小为
导航 2.做一做:(1)若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是 150° ,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于 . (2)已知直线l的一个方向向量a=(2,1,-2),n=(2,-1,4)是平面α的 一个法向量,则l与α所成角的正弦值为 . (3)若钝二面角的两个半平面的法向量分别为n1 =(1,0,-1), n2 =(-1,1,2),则此二面角的大小为
导航 解析：(1)由异面直线所成角的定义可知，1与，所成的角为 180°-150°=30°. (2)设1与a所成角为0， 则in叶 5v21 63 (3)cos<m 3 29 ∴.<1，n2>=150°，.二面角的大小为150°. 答案：(1030°(2)5 (3)150° 63
导航 解析:(1)由异面直线所成角的定义可知,l1与l2所成的角为 180°-150° =30° . (2)设l与α所成角为θ, 则 sin θ=|cos<a,n>|=|𝒂·𝒏| |𝒂||𝒏| = 𝟓 𝟐𝟏 𝟔𝟑 . (3)∵cos<n1,n2>= -𝟑 𝟐× 𝟔 =- 𝟑 𝟐 , ∴<n1 ,n2>=150° ,∴二面角的大小为150° . 答案:(1)30° (2)𝟓 𝟐𝟏 𝟔𝟑 (3)150°
导期 【思考辨析】 判断正误（正确的画“V,错误的画“义） ()直线的方向向量是唯一确定的.( (2)两条不重合的直线L和12的方向向量分别为y1=(1,0,-1), V2=(-2,0,2),则11与2的位置关系是平行.( (3)已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是 w-±G子3（〉 (4)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.( (⑤)直线与平面所成角可以是180°.()
导航 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“ ”,错误的画“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1 =(1,0,-1), v2 =(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是平行.( ) (4)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.( × ) (5)直线与平面所成角可以是180° .( × ) (3)已知𝑨 𝑩 =(2,2,1),𝑨 𝑪 =(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量是 n0=±( 𝟏 𝟑 ,- 𝟐 𝟑 , 𝟐 𝟑 ).( )