导航 课堂·重难突破 探究一利用空间向量求异面直线所成的角 【例1】如图，已知四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E,F是 平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD,DFL平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC (1)证明：平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 B
导航 课堂·重难突破 探究一 利用空间向量求异面直线所成的角 【例1】如图,已知四边形ABCD为菱形,∠ABC=120° ,E,F是 平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
导航 )证明：连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,如图. 在菱形ABCD中，不妨设GB=1. 由∠ABC=120°，可得AG=GC=V5. E 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC 又AE⊥EC,所以EG=V3,且EG⊥AC.A∈ 在Rt△EBG中，可得BEVZ,故DF竖云 B 在RIAFDG中，可得FG9
导航 (1)证明:连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF,如图. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120° ,可得AG=GC= . 由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC. 又AE⊥EC,所以EG= ,且EG⊥AC. 𝟑 𝟑 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 𝟐,故 DF= 𝟐 𝟐 . 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 𝟔 𝟐
导航 在直角梯形BDFE中，由BD-2,BE-=V2,DF可得EF3 从而EG2+FGP=EF2,所以EG⊥FG. 又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC. 因为EGC平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC
导航 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 𝟐,DF= 𝟐 𝟐 ,可得 EF=𝟑 𝟐 𝟐 . 从而EG2+FG2=EF2 ,所以EG⊥FG. 又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC
2)解：如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴 轴正方向，GB为单位长度，建立空间直角坐标系. 由（可得A0,-V3,0,E1,0V2,F-1,07,C0,V3,0,所以 A正-(1，V3,V2),CF-(1,-V3,, 故cos<AE,C下- A正·CF_V3 AEICF 139 所以直线4柜与直线CF所成角的余弦值为
导航 (2)解:如图,以 G 为坐标原点,分别以𝑮 𝑩 ,𝑮 𝑪 的方向为 x 轴、y 轴正方向,|𝑮 𝑩 |为单位长度,建立空间直角坐标系. 由(1)可得 A(0,- 𝟑,0),E(1,0, 𝟐),F(-1,0, 𝟐 𝟐 ),C(0, 𝟑,0),所以 𝑨 𝑬 =(1, 𝟑, 𝟐),𝑪 𝑭 =(-1,- 𝟑, 𝟐 𝟐 ). 故 cos<𝑨 𝑬 , 𝑪 𝑭 >= 𝑨 𝑬 ·𝑪 𝑭 |𝑨 𝑬 ||𝑪 𝑭 | =- 𝟑 𝟑 . 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 𝟑 𝟑
导航 反思感悟 空间线面垂直或平行的证明问题，一般利用几何法更易求解. 对于异面直线所成角，往往借助于向量求解
导航 空间线面垂直或平行的证明问题,一般利用几何法更易求解. 对于异面直线所成角,往往借助于向量求解