《高等数学》课程授课教案（讲义）第五章 定积分

$5.2定积分的性质教学目的：掌握定积分的性质，特别是中值定理教学重点：熟练运用性质教学难点：中值定理教学内容：定积分的性质为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：(1）当 a=b时，「'f(x)dx=0(2)当a>b时，["(x)dx=-"f(x)dx性质1函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即'(x)±g(x)x=I(x)dx± J'g(x)dx证明: ["L(t)±g()dx= lim之(5)±g(5)Ax;-()4+(0),11.04" f(x)dx± [ g(x)dx性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即["kf(x)dx=k ["f(x)dx(k 是常数)性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设a<c<b,则'f(x)dx= I" (x)dx+ " f(x)dx注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。性质4如果在区间[a,b) 上，f(x)=1,则[ f(x)dx=["dx=b-c性质5如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则["f(x)dx≥0 (a<b)证明：因f(x)≥0,故f(5)≥0(i=1,2,3,",n)，又因145

145 §5.2 定积分的性质 教学目的：掌握定积分的性质，特别是中值定理 教学重点：熟练运用性质 教学难点：中值定理 教学内容：定积分的性质 为方便定积分计算及应用，作如下补充规定： （1） 当 a=b 时， ( ) = 0 ∫ b a f x dx （2） 当 a>b 时， = − ∫ b a f (x)dx ∫ a b f (x)dx 性质 1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即 ± = ∫ f x g x dx b a [ ( ) ( )] ± ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 证明： ± = ∫ f x g x dx b a [ ( ) ( )] i n i i i ∑ f ± g Δx = → 1 0 lim [ (ξ ) (ξ )] λ = ∑ Δ ± = → i n i i f x 1 0 lim (ξ ) λ i n i i ∑g Δx = → 1 0 lim (ξ ) λ = ± ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 = ∫ b a kf (x)dx k ∫ b a f (x)dx ( k 是常数) 性质 3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两 个区间上定积分之和，即设 a<c<b,则 = ∫ b a f (x)dx ∫ + c a f (x)dx ∫ b c f (x)dx 注意：我们规定无论 a,b,c 的相对位置如何，总有上述等式成立。 性质 4 如果在区间[a,b] 上， f (x) ≡ 1,则 = ∫ b a f (x)dx dx b a b a = − ∫ 性质 5 如果在区间[a,b] 上， f (x) ≥ 0,则 ( ) ≥ 0 ∫ b a f x dx (a < b) 证明：因 f (x) ≥ 0,故 f ( ) 0(i 1,2,3, ,n) ξ i ≥ = " ，又因

Ax, ≥0(i= 1,2,,n),故f(5,)Ax, ≥0,i=l设=maxAr,Ax,Ar,,→o时，便得欲证的不等式。推论1如果在[a,b] 上，f(x)≤g(x),则["f(x)dx≤J'g(x)dx (a<b)[ (x)dx ≤ '1(x)dax推论 2性质6设M与m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则m(b-a)≤[" f(x)dx≤M(b-a) (a<b)性质 7（定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点，使下式成立：["f(x)dx=f()(b-a) ((a≤s≤b)1[f(x)dx≤M；再由闭区间上连续函数的介值证明：利用性质6，m≤h-定理，知在[a,b]上至少存在一点5，使(5)="f(x)dx，故得此性质。显然无论a.>b，还是a<b，上述等式恒成立。做本节后面练习，熟悉上面各性质。例：比较积分值edx和xdx的大小解：令f(x)=e"-x,xe[-2,0] f(x)>0.. [°(e*-x)dx>0: L,e'dx>L,xdx 于是,e'dx<Jxdx例：估计积分门dx的值Jo3+sinx1解：f(x)=Vxe[0,元]3+sinx1-3dxs[0≤sinx≤1dxsd43+sin3x3+sinx11元<dx≤"Jo3+sinx>34146

146 x 0(i 1,2, ,n) Δ i ≥ = " ，故 ( ) 0 1 ∑ Δ ≥ = i n i i f ξ x ， 设λ = max{Δx1 ,Δx2 ,",Δxn },λ → o时，便得欲证的不等式。 推论 1 如果在[a,b] 上， f (x) ≤ g(x),则 ≤ ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx （a<b） 推论 2 ≤ ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x) dx 性质 6 设 M 与 m 分别是函数 f (x)在[a,b]上的最大值及最小值，则 m(b − a) ≤ ≤ ∫ b a f (x)dx M (b − a) （a<b） 性质 7 （定积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，则在 积分区间[a,b]上至少存在一点ξ ，使下式成立： f (x)dx f ( )(b a) b a = − ∫ ξ （a ≤ ξ ≤ b ） 证明：利用性质 6， ∫ ≤ − ≤ b a f x dx M b a m ( ) 1 ；再由闭区间上连续函数的介值 定理，知在[a,b]上至少存在一点ξ ，使 ∫ − = b a f x dx a b f ( ) 1 (ξ ) ，故得此性质。 显然无论 a.>b，还是 a<b，上述等式恒成立。 做本节后面练习，熟悉上面各性质。 例：比较积分值 2 0 d x e x − ∫ 和 2 0 xdx − ∫ 的大小. 解：令 ( ) , [ 2, 0] x fx e x x = − ∈− 0 2 ( ) 0 ( )d 0 x fx e x x − >∴ − > ∵ ∫ 0 0 2 2 d d x e x xx − − ∴ > ∫ ∫ 于是 2 2 0 0 d d x e x xx − − < ∫ ∫ 例：估计积分 3 0 1 d . 3 sin x x π + ∫ 的值 解： 3 1 ( ) 3 sin f x x = + ，∀ ∈x [0, ] π 3 0 sin 1 ≤ ≤x 3 111 4 3 sin 3 x ≤ ≤ + 3 00 0 111 d dd 4 3 sin 3 x x x x ππ π ≤ ≤ + ∫ ∫ ∫ 、 3 0 1 d 4 3 sin 3 x x π π π ≤ ≤ + ∫

sin×dx的值例：估计积分xsinx解：f(x)=xxcosx-sinx_cosx(x-tanx)<0f'(x)=x2x2元元元元f(x)eCf(x）在4°242/22,m=f(3)=M=f(").b-a=244元A2V22.元212元sin.x2dr元2A2元4xrna sin Xdx = 0例：求证lim(a为常数)X证：由积分中值定理有sin5n(n+a-n)In+a sinx.dx(n≤E,≤n+aJn5nxsin 5n a = 0n+asinxlimdx = lim5n+n-→o[sinnxsin"xdx= 0例：求证lim证：当xe0,时, sin xsin"x(sin) -4.41”元→ 0(n → )[ sin nx sin" xdx≤0≤)47夹逼定理即得limsinnxsin"xdx=0小结：本小结讲述了定积分的性质、积分中值定理作业：147

147 例：估计积分 2 4 sin d . x x x π ∫π 的值 解： sin ( ) x f x x = 2 2 cos sin cos ( tan ) () 0 x x x xx x f x x x − − ′ == < () , , 4 2 fx C ⎡ ⎤ π π ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ () , 4 2 f x ⎡ ⎤ π π ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 在 上 2 2 () , 4 M f π π = = 2 () , 2 m f π π = = 4 b a π − = 2 4 1 2 sin 2 2 2 2 4 42 x dx x π π π π π π =⋅≤ ≤ ⋅= ∫ 例： sin lim d 0 n a n n x x x + →∞ = 求证 ∫ (a 为常数) 证：由积分中值定理有 sin sin d () n a n n n x x nan x ξ ξ + = +− ∫ (n na ≤ ξ n ≤ + ) sin sin lim d lim 0 n a n n n n n x x a x ξ ξ + →∞ →∞ = = ∫ 例： 4 0 lim sin sin d 0 n n nx x x π →∞ = 求证 ∫ 证： 0, , 4 x ⎡ ⎤ π ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 当 时 1 | sin sin | sin 4 2 n n n nx x ⎛ ⎞ π ⎛ ⎞ ≤ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 0 1 0 sin sin d 0( ) 2 4 n n nx x x n π ⎛ ⎞ π ≤ ≤ ⋅ → →∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 夹逼定理 即得 4 0 lim sin sin d 0 n n nx x x π →∞ = ∫ 小结：本小结讲述了定积分的性质、积分中值定理 作业:

$5.3微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用教学重点：公式的应用教学难点：公式的应用教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t时物体所有的位置s(t)，速度v(t)(不防设v()≥0)。物体在时间间隔[T,T,]内经过的路程可以用速度函数v(t)在[T,T,]上的定积分来表达，即["v(0)dx另一方面，这段路程可以通过位置函数s()在区间[T,T,]的增量来表示，即S(T,)- S(T)故["v(1)dx=S(T,) - S(T,)注意到S (t)=v(t)，即s(t)是v(t)的原函数。二、积分上限的函数及其导数设f(x)在[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上任一点，设d(x)= f(t)dt函数Φ(x)具有如下性质：定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数d(x)=f, f(t)dt在[a,b]上具有导数，并且它的导数是dr'fodtΦ(x)=dxJa148

148 §5.3 微积分基本公式 教学目的：掌握微积分基本公式及其应用 教学重点：公式的应用 教学难点：公式的应用 教学内容： 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其 成为一数轴，时刻 t 时物体所有的位置s(t)，速度v(t)(不防设v(t) ≥ 0)。 物体在时间间隔[ , ] T1 T2 内经过的路程可以用速度函数v(t)在[ , ] T1 T2 上的定积 分来表达，即 ∫ 2 1 ( ) T T v t dx 另一方面，这段路程可以通过位置函数s(t)在区间[ , ] T1 T2 的增量来表示，即 ( ) ( ) 2 T1 S T − S 故 ∫ 2 1 ( ) T T v t dx = ( ) ( ) 2 T1 S T − S 注意到S`(t) = v(t)，即s(t)是v(t)的原函数。 二、积分上限的函数及其导数 设 f (x) 在[a,b]上连续，并且设 x 为[a,b]上任一点，设 ∫ Φ = x a (x) f (t)dt 函数Φ(x) 具有如下性质： 定理 1 如果函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，则积分上限函数 ∫ Φ = x a (x) f (t)dt 在[a,b]上具有导数，并且它的导数是 ∫ Φ′ = x a f t dt dx d (x) ( )

(a≤x≤b)=f(x)证明：（1）xe(a,b)时，A(x) = Φ(x + Ax)-Φ(x)-f* f()dt- f()dt** f(t)dt= f(3)Ar在x与Ax之间A() = f(5)AxAx→0时，有Φ(x)= f(x)（2）x=a或b时考虑其单侧导数，可得Φ(a)= f(a), Φ(b)= f(b)由定理1可得下面结论定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数'f(t)dtd(x) = 是f(x)的一个原函数。三、Newton一Leibniz公式定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则J" f(x)dx = F(b)- F(a)证明：因F(x)与Φ(x)均是f(x)原函数，故F(x)-Φ(x)=c(a≤x≤b)又因 f(x)dx = Φ(b)- Φ(a)故[f(x)dx= F(b)- F(a)为方便起见，把F(b)-F(a)记作[F(x)]149

149 = ) f (x （a ≤ x ≤ b） 证明：（1） x ∈ (a,b) 时， ΔΦ(x) = Φ(x + Δx) − Φ(x) = − ∫ x+ x a f t dt 4 ( ) ∫ x a f(t)dt = f t dt f x x x x = Δ ∫ + ( ) ( ) 4 ξ ξ 在 x与 之间 Δx ( ) ( ) f ξ x x = Δ ΔΦ Δx → 0时，有 Φ′(x) = f (x) （2） x = a或b时考虑其单侧导数，可得 Φ′(a) = f (a) ，Φ′(b) = f (b) 由定理 1 可得下面结论 定理 2 如果函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，则函数 Φ(x) = ∫ x a f(t)dt 是 f (x) 的一个原函数。 三、Newton —Leibniz 公式 定理 3 如果函数 F(x)是连续函数 f (x) 在区间[a,b]上的一个原函数，则 = ∫ b a f (x)dx F(b) − F(a) 证明：因 F(x)与Φ(x) 均是 f (x) 原函数，故 F(x) − Φ(x) =c （a ≤ x ≤ b） 又因 = ∫ b a f (x)dx Φ(b) − Φ(a) 故 = ∫ b a f (x)dx F(b) − F(a) 为方便起见，把 F(b) − F(a) 记作[ ) F(x ] b a