《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计

作为未知参数的估计,这就是所调的矩估计法 令这种估计法的优良性在下面的7.1.3中将会看到 令现在就连续型总体来具体说明这一估计法. 令离散型总体的情况完全类似,不予重复 冷设总体X的概率密度为f(x;Bn,2,…,Bm),其中 日1,日2,…,m,为未知参数 冷假设X的前m阶矩pk=EX(k=1,2,…,m)都存在,它 们是1,日2,…,Bm的函数,记为 8k(b1,b2 )(k=1,2 uK=EX 11

11 ❖ 作为未知参数θ的估计，这就是所谓的矩估计法. ❖ 这种估计法的优良性在下面的7.1.3中将会看到. ❖ 现在就连续型总体来具体说明这一估计法. ❖ 离散型总体的情况完全类似，不予重复. ❖ 设总体X的概率密度为f(x;θ1,θ2,…,θ m )，其中 θ1,θ2,…,θ m为未知参数. ❖ 假设X的前m阶矩μk=EXk (k=1,2,…,m)都存在，它 们是θ1,θ2,…,θ m的函数，记为 gk(θ1,θ2,…,θ m ) (k=1,2,…,m)，即 k k = EX

u=erk ∝ xf(x;1,2,…,n)lx gk(9,02,…,On),k=1,2,…,m 令如果从此方程(组)可以解出 =hk(A,12,…,n),=1,2,…,m 那么,当1,H2,…,Hm均未知时 =h2(a42a2,…,an),k=1,2,…,m 12

12 g k m x f x dx EX k m m k k k ( , , , ), 1,2, , ( ; , , , ) 1 2 1 2    = = = =  + −        ❖ 如果从此方程(组)可以解出 k = hk (1 ,2 ,  , m ), k =1,2,  ,m ❖ 那么，当μ1,μ2,…,μm均未知时，  ˆ k = hk (a1 ,a2 ,  ,am ), k =1,2,  ,m

令就是Bk的矩估计,其中 k 1 为样本k阶原点矩 13

13 ❖ 就是θk的矩估计，其中 = = n i k k Xi n a 1 1 ❖ 为样本k阶原点矩

令例1设总体X的概率密度为 0<x<b f(x;0)=10 (b>0 0 其它 试求未知参数的矩估计 令解因 H=EX= xf(r; 0)dx 6 X 0 202 14

14 ❖ 例1 设总体X的概率密度为 ( 0) 0, . , 0 , 1 ( ; )        =     其它 x f x ❖ 试求未知参数θ的矩估计. ❖ 解 因 2 0 2 1 1 ( ; ) 2 0 1        =  = = = =   + − x dx x EX x f x dx

解因 +oo u=EX= xf(x; 0)dx X X 2602 令故 =2 从而θ的矩估计为 6=2a,=2X 15

15 ❖ 解 因 2 0 2 1 1 ( ; ) 2 0 1        =  = = = =   + − x dx x EX x f x dx ❖ 故  = 21 ❖ 从而θ的矩估计为 2 2 . ˆ  = a1 = X