例4.110010÷101=1010.算式是 1010 01 10L 怎样化一个十进位数为二进位数?須把这数的整数部分与小数部分分丌来算 先介招把十进位的整数化为二进位的方法。用2除余1記1,余0記0作为个位;再 用2除所得的商,把余数記在上数之左;再用2除商,把余数記在上数之左等等。 例5,十进位的25等于二进位的11001,它的算式是 2|25 将十进位小数化为二进位的方法是将小数乘以2,得出的整数部分記作小数的第一 位;留下的分数部分再乘以2,把整数部分記作小数的第二位等等, 例6。十进位的0.6145等于二进位的01001101…它的算式是 0.6145 2290 09160 18320 3280 06560 3120 所以,干进位的256145等于二进位的1100110011101 把一个二位数表为十进位数的方法也是相同的,須把这数的整数部分与小数部分 分开来算整数部分的算法为除以1010(郎进位的10),所得余数化为十进位数記作 个位;再除以1010,所得余数化为十进位数紀作士位;如此籟行,郎得出百位、干位,以至 我們所特要的位数 例 进位的1110111001等于十进位的953.算式是
1110111001 1010 1010 1011110 10011 1010 1010 11位 1010 1010 101 30010 010 1010 (个位) 将二进位小数化为十进位小数的方法是将小数乘以1010,得出的整数部分化为十进 位数記作小数的第一位;留下的部分再乘以1010,把整数部分化为士进位数記作小数的 第二位等等 現在我們把方的方法介紹如下:与+进位数开方的力法相似,也是先将欲計算的 数分段,但由于在二进位中 (4+b)(a+b)一a·4+10ab十bb 所以在原来乘20的地方换上乘100 俩8,√110001=11.算式是 11000111l 100×11000 101 1 9,√10=1.011…,算式是 101.011 10u 000 1000+110000 1001 l100+111100 10101
讀者不难由此推出任意r进位的四則运算以及将r进位表为进位数的方法 §12.循环小数 若有自然数n及λ使b+1=bn+(=1,2,…;l=1,2,…),則称小数 an4m-1……·4b1b2…为循环小数,記为 定理1.每一循环小数均为有理数 位 h1…bB=0.00…·0b b 則 B(1 + B B 由例44可 十 故a为有理数,定理誑完 定理2.有理数都是循环小数 証.我們只討論正有理数2的情形,pq都是正整数,用q除得商数a,杂数 r1;乘10宇r,再以q除之,得商数b,余数n2;再乘10于r2,并以q除之,又得商数b2余 数r3;…等等。用式子表示,就是 1 ≤r2< ≤r3< a就是的整数部分;b,b,b;…则是2的小数表示中的第一、二、三、…位小数 如果有自然数n与,使r=rn+,那末乘它們以10,再以q除之,所得的商数与余数应 当相同,也就是說 Tn+1=Fm++1。 同理 bn+2=b,+4+2, r,+2=fa+i+z> bn+ b
听以bn+b(〓1,2,…;1-1,2,…).因此的小数表示是循环的 由于0≤n≤q(=1,2,…),所以在q+1个余数r1,…,r4+1中,一定有两个 相等.于是根据上面的說明,一定是循环小数 §13.有理数接近数 用小数来接近实数当然也就是用有理数接近实数的一种殊形式在应用中有时我 要用分母最小的有理数来接近实数,我們现在还是从√2說赶,=√2-1在0与 1之間.1-√2+1大于1,它的整数部分等于2,而分数部分等于;.換言之,自 等式 也就是 用和1来比,1更按近于日既然如此,上式右边如朵用1代当比0代更 精密些.算出了一1—2,也就是說,2比1更接近于6些;右边代以更樯密的 1 2,左边-1-5对一定更精密些.用这样办法算出一批分数 2 1 122970.169 如此得出的 =0414215 408 准到了五位小数,这个力法使用篮单(指比开方法),并且收斂得也不慢,同时象少还是 分母不大于408的分数中与√2-1最接近的近似值 以上的方法还休現了分析学上的一个重要方法—迭代法的原則 現在我們把上面的精果予以推广 命6表一正的实数,a是七的整数部分;又命一43=1,则1也是正实数,而且 大于1.再命a是2的整数部分及1-a1-1;如此犢行,命n的整数部分是
-1 而 如此就得出丁一个分数 这样的写法占的篇幅太多,我們筒写为 1 +a,+ ag-I 或 过計算易得 Lay a a2=4214242 普通命 P 称为的第n个渐近分数或漸近值 定理1.渐近分数的分母与分子之問有以下的关系: P=“s力 証,我們用归納法,当n=2吋,上面的結論显然正确.假定已經知道以上的結 論对m巳經成立,由 1 p pm-1+pm-十夕 Hm-1+4m-2t m-1 可得定理 定理2.p与qn还适合以下的公式 Pag. Pn-19 (1)