第六章线性变换和特征值 n6.1n维空间的线性变换 n6.2方阵的特征值和特征向量 ■6.3相似矩阵与矩阵的对角化 64实对称矩阵的对角化 6.5二次型及其标准形 6.6奇异值分解简介 6.7应用实例 68习题
第六章 线性变换和特征值 6.1 n维空间的线性变换 6.2 方阵的特征值和特征向量 6.3 相似矩阵与矩阵的对角化 6.4 实对称矩阵的对角化 6.5 二次型及其标准形 6.6 奇异值分解简介 6.7 应用实例 6.8 习题
6.1n维空间的线性变换 定义6.1设X,Y是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x,按照一定的对应法则T,总有 Y中一个确定的元素y与之对应,则称T 为从集合X到集合Y的,记为y=T(x) 或y=Tx,X称y是X在映射T下的,x是y 在映射T下的,X称为映射T的 像的全 体所构成的集合称为 记作T(X
6.1 n维空间的线性变换 定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有 Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射，记为 或 ， 称y是X在映射T下的像，x是y 在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全 体所构成的集合称为像集，记作 。 y = T(x) y = Tx x X T X( )
定义62设V,Um是实数域上的向量空间, T是一个从V到Um的映射,若映射T满足 1yx1,x2∈Vn,有T(x1+x2)=T(x)+T(x2) 2)x∈Vn,k∈R,有T(kx)=kT(x) 则称T为从ˇ到U的线性映射,或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射
定义6.2 设 是实数域上的向量空间， T是一个从 到 的映射，若映射T满足 1) 2) 则称T为从 到 的线性映射，或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射。 V ,Un m Vn Um , 1 2 n 1 2 1 2 x , x V T(x + x ) = T(x + T(x ) 有 ） , k n x V R, T x T(x 有 (k )=k ） Vn Um
例6.1试证所有矩阵相乘的关系式y=T(x)=Ax 都是R到R喲线性映射。 证:利用矩阵的数乘及乘法运算,y=T(x)=Ax 是R到R的映射。若y1=Ax12y2=Ax2,显然 有 y,+y2=AX +AX2 =A(x1 +x2)K kyA(Kx,) 即T是R"到R的线性映射
例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 即 都是 的线性映射。 证：利用矩阵的数乘及乘法运算， 是 的映射。 显然 有 及 即T是 的线性映射。 y = T(x) Ax = 1 1 11 12 1 2 21 22 2 2 1 2 n n m n m m mn y x a a a y a a a x y x a a a = n m R R 到 y = T(x) Ax = n m R R 到 1 1 2 2 若y = Ax y = Ax , , y y = Ax Ax A x x 1 2 1 2 1 2 ＋ ＋ ＝ ( ＋ ) k k y A x 1 1 ＝ ( ) n m R R 到
例6.,2向量空间∨中的恒等变换E:E()=a∈V 是线性变换。 证明:设a∈Vk∈R则有 E(0+B)=a+B=E()+E(P) E(ka)=ka=kE(a 所以恒等变换E是线性变换
例6.2 向量空间V中的恒等变换 是线性变换。 证明：设 ，则有 所以恒等变换E是线性变换。 E : E(α) = α,αV α,β V R , k k k k E(α + β) = α + β = E(α) + E(β), E( α) = α = E(α)