第一章集与集类R中的点集 集与集的运算是测度与积分理论的基础.本章先介绍集论的一些基本内容,包括 集与集的运算,可数集和基数,一些具有某些运算封闭性的集类如环与σ-代数等.然后介 绍R中的一些常见的点集 §1.1集与集的运算 教学目的集合论是本课程的基础.本节将引入集的概念与集的运 算,使学生掌握集和集的运算的基本概念 本节要点 De morgan公式是以后常用的公式.证明两个集的相等是 经常要遇到论证,应通过例子使学生掌握其基本方法集列的极限是一种 新型的极限,学生应注意理解其概念 集是数学的基本概念之一.它不能用其它更基本的数学概念严格定义之,只能给予 种描述性的说明 集的定义以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合) 例如,数学分析中的实数集,有理数集,函数的定义域和值域,满足某些给定条件的数 列或函数的全体所成的集等都是常用的集.几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或 空间的点所构成的集 般用大写字母如A,B,C等表示集,用小写字母如a,b,c等表示集的元素.若a是集 A的元素,则用记号a∈A表示(读作a属于A).若a不是集A的元素,则用记号a∈A表示 (读作a不属于A) 不含任何元素的集称为空集,用符号②表示.约定分别用R,Q,N和Z表示实数 集,有理数集,自然数集和整数集 集的表示方法 第一种方法:列举法,即列出给定集的全部元素.例如 A=a, b, c) B={1,3,5,…,2n-1 第二种方法:描述法.当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时,用下面的方 式表示集A
1 第一章 集与集类 n R 中的点集 集与集的运算是测度与积分理论的基础. 本章先介绍集论的一些基本内容, 包括 集与集的运算, 可数集和基数, 一些具有某些运算封闭性的集类如环与σ − 代数等. 然后介 绍 n R 中的一些常见的点集. § 1.1 集与集的运算 教学目的 集合论是本课程的基础. 本节将引入集的概念与集的运 算, 使学生掌握集和集的运算的基本概念. 本节要点 De Morgan公式是以后常用的公式. 证明两个集的相等是 经常要遇到论证, 应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种 新型的极限, 学生应注意理解其概念. 集是数学的基本概念之一. 它不能用其它更基本的数学概念严格定义之, 只能给予一 种描述性的说明. 集的定义 以某种方式给定的一些事物的全体称为一个集(或集合). 例如, 数学分析中的实数集, 有理数集, 函数的定义域和值域, 满足某些给定条件的数 列或函数的全体所成的集等都是常用的集. 几何学中的曲线和曲面都可以看成是由平面或 空间的点所构成的集. 一般用大写字母如 A, B, C 等表示集, 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的元素. 若a 是集 A 的元素, 则用记号 a ∈ A表示(读作a属于A). 若 a 不是集 A 的元素, 则用记号 a ∉ A表示 (读作 a 不属于 A). 不含任何元素的集称为空集, 用符号∅ 表示. 约定分别用 1 R , Q , N 和Z 表示实数 集, 有理数集, 自然数集和整数集. 集的表示方法 第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如 {1, 3, 5, ,2 1, }. { , , }. = " − " = B n A a b c 第二种方法: 描述法. 当集 A 是由具有某种性质 P 的元素的全体所构成时, 用下面的方 式表示集 A:
A={x:x具有性质P} 例如,设∫是定义在R上的实值函数,则∫的零点所成的集A可表示成 A={x:f(x)=0} 集的相等与包含设A和B是两个集.如果A和B具有完全相同的元素,则称A与B 相等,记为A=B.如果A的元素都是B的元素,则称A是B的子集,记为AcB(读作A包 含与B),或B→A(读作B包含A)若ACB并且A≠B,则称A为B的真子集.按照这个 定义,空集必是任何集的子集.由定义知道A=B当且仅当AcB并且BcA 集的运算 并运算与交运算设A和B是两个集.由A和B的所有元素所构成的集称为A与B的 并集,简称为并(图1-1),记为A∪B.即 A∪B={x:x∈A或者x∈B} 由同时属于A和B的元素所构成的集称为A与B的交集,简称为交(图1-2),记为A∩B 即 A∩B={x:x∈A并且x∈B} 若A∩B=,则称A与B不相交此时称A∪B为A与B的不相交并 A∪B B B 4∩B 图1 图1-2 设T是一非空集(T可以是有限集或无限集),{A4}ax是一族集.这一族集的并集和交 集分别定义为 ∪A={x:存在某个∈T,使得x∈A} ∩4={x:对每个∈T,x∈A} 当r=N为自然数集时,∪A和∩4分别记成∪An和∩A,分别称为{4}的可数并 n∈N 2
2 A = {x : x具有性质P}. 例如, 设 f 是定义在 1 R 上的实值函数, 则 f 的零点所成的集 A 可表示成 A = {x : f (x) = 0}. 集的相等与包含 设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元素, 则称 A 与 B 相等, 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A ⊂ B(读作 A 包 含与 B), 或 B ⊃ A (读作 B 包含 A). 若 A ⊂ B 并且 A ≠ B, 则称 A 为 B 的真子集. 按照这个 定义, 空集∅ 是任何集的子集. 由定义知道 A = B当且仅当 A ⊂ B 并且 B ⊂ A. 集的运算 并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素所构成的集称为 A 与 B 的 并集, 简称为并(图 1—1), 记为 A ∪ B. 即 A∪ B = {x : x ∈ A或者x ∈ B}. 由同时属于 A 和 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交(图 1—2), 记为 A ∩ B. 即 A∩ B = {x : x ∈ A并且x ∈ B}. 若 A∩ B = ∅, 则称 A 与 B 不相交.此时称 A∪ B 为 A 与 B 的不相交并 图 1—1 图 1—2 设 T 是一非空集(T 可以是有限集或无限集), At t∈T { } 是一族集. 这一族集的并集和交 集分别定义为 ∪ t T t At A x t T x ∈ = { : 存在某个 ∈ , 使得 ∈ }, ∩ t T t At A x t T x ∈ = { : 对每个 ∈ , ∈ }. 当 T=N 为自然数集时, ∪ n∈N An 和 ∩ n∈N An 分别记成∪ ∞ n=1 An 和 , 1 ∩ ∞ n= An 分别称为{ } An 的可数并 A∪ B B B A∩B A A
和可数交 并与交的运算性质 (1)A∪A=A,A∩A=A.(幂等性) (2)A∪=A,A∩= (3)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(交换律) (4)(A∪B)∪C=A∪(B∪C (A∩B)∩C=A∩(B∩C).(结合律) (5)An(B∪C)=(A∩B)∪(A⌒C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).(分配率) 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形 A∩(UB)=U(A∩B) AUB)=∩(4UB 差运算与余运算设A和B是两个集.由A中的不属于B的那些元素所构成的集称为A 与B的差集(图1-3),记为A一B或A\B.即 A并且xgB} 通常我们所讨论的集都是某一固定集X的子集,X称为全空间.我们称全空间X与 子集A的差集X-A为A的余集(图1-4),记为AC.设A和B是两个集.称集 (A-B)∪(B-A)为A与B的对称差集,记为AAB B A-B A 图 图 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质 (6)A∪AC=X,A∩A (7)XC=,②C=X (8)A-B=A∩B
3 和可数交. 并与交的运算性质 (1) A∪ A = A, A∩ A = A. (幂等性) (2) A∪ ∅ = A, A∩ ∅ = ∅. (3) A∪ B = B ∪ A, A∩ B = B ∩ A. (交换律) (4) (A∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C), (A∩ B) ∩C = A∩ (B ∩C). (结合律) (5) A∩ (B ∪C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C),. A∪ (B ∩C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C). (分配率). 分配律可以推广到任意多个集的并与交的情形: ∪ ∪( ) t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ ∩ ( ) = ∩ , ∪ ∩ ∩ ∪ t T T t A Bt A Bt ∈ ∈ ( ) = ( ). 差运算与余运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 中的不属于 B 的那些元素所构成的集称为 A 与 B 的差集(图 1—3), 记为 A − B 或 A B\ . 即 A − B = {x : x ∈ A并且x ∉ B}. 通常我们所讨论的集都是某一固定集 X 的子集, X 称为全空间. 我们称全空间 X 与 子集 A 的差集 X − A为 A 的余集(图 1—4), 记为 C A . 设 A 和 B 是两个集. 称集 (A − B) ∪ (B − A)为 A 与 B 的对称差集, 记为 A∆B. 图 1—3 图 1—4 容易知道关于差运算和余运算成立以下性质: (8) . (7) , . (6) , . C C C C C A B A B X X A A X A A − = ∩ = ∅ ∅ = ∪ = ∩ = ∅ A B A − B A C A X
关于余运算还成立下面重要的运算法则 定理1( De morgan公式)设(A1)ar是一族集.则 ()(U4,)=∩4(并的余集等于余集的交) (i)(∩4,)=∪4(交的余集等于余集的并 证明(i)设x∈(UA),则xe∪A,故对任意!∈T,xgA,即对任意t∈T 此x∈∩4这表明(4)=自上述推理可以反过来即从x∈∩4 可以推出x∈(U4).这表明∩4c(U4).因此()成立类似地可以证明(i) 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法 例1设{fn}是定义在集X上的一列实值函数.令A={x: lim f,(x)=0.} A=∩U∩x:(x)< kel mel gem 证明由于lmf(x)=0当且仅当对任意k≥1,存在m≥1,使得对任意n≥m成立 n(x)<.因此我们有 x∈Abk21,3m21,使得vm≥m,x∈{x1/n(x)< k21,3m21,使得x∈∩x:|2(x) vk≥1x∈Un{x:Ufx x∈∩U∩x:/n(x) kel mel ne 因此(1)成立■ 在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集{x:n(x 的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的 乘积集设A1,…,An为n个集.称集 (x1,…,xn):x1∈A,i=1,…,m 为A,…,A的乘积集(简称为乘积,记为Ax…xA或者。A 例如,二维欧氏空间R2可以看作是R与R的乘积,即R2=R1xR(见图1-5)
4 关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理 1 (De Morgan 公式)设 At t∈T ( ) 是一族集. 则 ∪ ∩ t T C t C t T At A ∈ ∈ (i). ( ) = (并的余集等于余集的交), (ii) ∩ ∪ t T C t C t T At A ∈ ∈ ( ) = (交的余集等于余集的并). 证明 (i).设 ( ) , C t T At x ∪ ∈ ∈ 则 ∪ . t T At x ∈ ∉ 故对任意t ∈T, . At x ∉ 即对任意t ∈T, . c At x ∈ 因此 ∩ . t T c At x ∈ ∈ 这表明 (∪ ) ∩ . t T c t C t T At A ∈ ∈ ⊂ 上述推理可以反过来, 即从 ∩ t T c At x ∈ ∈ 可以推出 ( ) . C t T At x ∪ ∈ ∈ 这表明 ( ) . C t T t t T c ∩At ∪A ∈ ∈ ⊂ 因此(i) 成立. 类似地可以证明(ii).■ 定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例 1 设{ }n f 是定义在集 X 上的一列实值函数. 令 = { : lim ( ) = 0.}. →∞ A x f x n n }. 1 { : ( ) 1 1 ∩∪∩ ∞ = ∞ = ∞ = = < km m n n k A x f x (1) 证明 由于 lim ( ) = 0 →∞ f x n n 当且仅当对任意 k ≥ 1, 存在 m ≥ 1, 使得对任意 n ≥ m 成立 . 1 ( ) k f x n < 因此我们有 }. 1 { : ( ) } 1 1, { : ( ) } 1 1, 1, { : ( ) } 1 1, 1, , { : ( ) 1 1 1 ∩∪∩ ∪∩ ∩ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ⇔ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∈ < ∈ ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∀ ≥ ∈ < km m n n m m n n n m n n k x x f x k k x x f x k k m x x f x k x A k m n m x x f x 使得 使得 因此(1)成立.■ 在例 1 中, 集 A 的表达式(1)看起来较复杂, 但它是通过比较简单的集 } 1 { : ( ) k x f x n < 的运算得到的, 以后会看到集的这种表示方法是很有用的. 乘积集 设 A An , , 1 " 为 n 个集. 称集 {( , , ) : , 1, , } x1 " xn xi ∈ Ai i = " n 为 A An , , 1 " 的乘积集(简称为乘积), 记为 A1 ×"× An 或者∏ = n i Ai 1 . 例如, 二维欧氏空间 2 R 可以看作是 1 R 与 1 R 的乘积, 即 2 1 1 R = R × R (见图 1—5)
R R 图1 又例如,E=[a,b]×[c,d]就是平面上的长方形 集列的极限设{An}是一列集.称集 {x:x属于无穷多个An,n≥1} 为集列{A}的上极限,记为 lim a.称集 {x:x至多不属于有限多个An,n≥1 为集列{An}的下极限,记为1imAn显然 lim A C lim A,若 lim a= lim a,则称集列 {An}存在极限,并称A= lim a=limA为集列{An}的极限,记为limA 定理2设{An}是一列集.则 lm4=∩U4,m4=∩4 证明我们有 lim a={x:x属于无穷多个An,n≥1} ={x:对任意n≥1,存在k≥n,使得x∈Ak ={x:对任意n21x∈U4}=∩U4 类似地可证明第二式■ 设{An}是一列集.若对每个n≥1,均有 A CA+1(相应地An+1cAn),则称{A4}是 单调增加的,记为An个(相应地,单调减少的,记为An)单调增加和单调减少的集列统称 为单调集列 定理3单调集列必存在极限.并且
5 图 1—5 又例如, E = [a,b]×[c,d]就是平面上的长方形. 集列的极限 设{ } An 是一列集. 称集 {x : x 属于无穷多个 A , n ≥ 1} n 为集列{ } An 的上极限, 记为 lim . n n A →∞ 称集 {x : x 至多不属于有限多个 A , n ≥ 1} n 为集列{ } An 的下极限,记为 lim . n n A →∞ 显然 ⊂ →∞ n n lim A lim . n n A →∞ 若 = →∞ n n lim A lim , n n A →∞ 则称集列 { } An 存在极限, 并称 A = = →∞ n n lim A n n A →∞ lim 为集列{ } An 的极限, 记为 lim . n n A →∞ 定理 2 设{ } An 是一列集. 则 ∩∪ ∪∩ ∞ = ∞ →∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = 1 1 lim , lim . n n k n k n n n k n k n A A A A 证明 我们有 { : 1, } . { : 1, , } lim { : , 1} 1 ∪ ∩∪ ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = ≥ ∈ = = ≥ ≥ ∈ = ≥ n n k k k n k k n n n x n x A A x n k n x A A x x A n 对任意 对任意 存在 使得 属于无穷多个 类似地可证明第二式.■ 设{ } An 是一列集. 若对每个 n ≥ 1, 均有 An ⊂ An+1 (相应地 An+1 ⊂ An ), 则称{ } An 是 单调增加的, 记为 An↑ (相应地, 单调减少的, 记为 An ↓). 单调增加和单调减少的集列统称 为单调集列. 定理 3 单调集列必存在极限. 并且 O 1 R 1 x 2 x ( , ) 1 2 x x 1 R 2 R