目录 第一章 Fourier变换 一内容要点 例题分析… ……………10 三习题全解 习题一解答 习题二解答 习题三解答…… 习题四解答………………………… 习题五解答 456 第二章 Laplace变换…… ………85 内容要点 …85 例题分析 …………92 三习题全解 l07 习题一解答 习题二解答…… 习题三解答…… …133 习题四解答…………… 习题五解答 专,F, 附录Ⅰ Fourier变换简表 附录【 aplace变换简表………… 201
第一章 Fourier变换 内容要点 本章从讨论周期函数的 Fourier级数的展开式出发,进而讨论 非周期函数的 Fourier积分公式及其收敛定理,并在此基础上引出 Fourier变换的定义、性质、-些计算公式及某些应用 本章的重点是求函数的ouer变换及 Fourier变换的某些应 用.函数的 Fourier变换也是本章的一个难点,要解决好这个难点, 必须掌握好 Fourier变换的基本性质及一些常用函数(如单位脉冲 函数,单位阶跃函数,正、余弦函数等)的 Fourier变换及其逆变换 的求法从而才能较好地运用 fourier变换进行频谱分析,解某些 微分、积分方程和偏微分方程的定解问题 1. Fourier积分 (1) Fourier级数的展开式 TT 设f1(:)以T为周期且在-,上满足 Dirichlet条件 即在[-22]上满足:连续或只有限个第一类问断点2 有有限个极值点)则(t)在[~TT1可以展成 Fourier级 2·2 数.在fr(t)的连续点处,有 fr(t)=a ( a. cos nwl+ b sin nat)(三角形式)
2 第一章 Fourier变换 (复数形式或称复指数形式) 其中 T cm=至 fr(t)e"dt(n=0,±1,… +jb, (n=1,2,…).在f(t)的间 断点t处,上面的展开式左边fr(t)应以fr(t+)+fr(t 0)]代替 (2) Fourier积分定理 对于(-∞,+∞)上的任何一个非周期函数f(t)都可以看成 是由某个周期函数∫1(t)当T+∞时转化而来的.由此,从 Fr(t)的 Fourier级数的复数形式出发,能够得到一个非周期函数 f(t)的 Fourier积分公式,其条件为 若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件 1°f(t)在任一有限区间上满足 Dirichlet条件 2°f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积(即积分 lf(t)|dt收敛),则在f(t)的连续点处有如下的 Fourier积分 公式 一U 在∫(t)的间断点t处,上面展开式左端的∫()应以[f(t+0) f(r-0)代替.这个公式也称为 Fourier和分公式的复数形 式 这个定理在教材中虽然未加证明,但应当看到它是 Fourier变 换的理论基础,必须深刻理解其含义,掌握它成立的条件,以便为 学习 Fourier变换奠定理论基础
内賽要点 (3) Fourier积分公式的其他形式 1) Fourier积分公式的三角形式 利用Euer公式,由 Fourier积分公式的复数形式可推出它的 角形式: f(r)cos w(t-t)drd 2) Fourier正弦积分公式 当ft)为奇函数时,利用三角函数的和差公式,由 Fourier积 分公式的三角形式可推出其 Fourier正弦积分公式 f(t)= f(r)sin curdt sin wt dw) 3) Fourier余弦积分公式 当∫(t)为偶函数时,同理可得 f()=2J.[.f(wor手wot tda 若∫(t)仅在(0,+∞)上有定义,且满足 Fourier积分收敛定 理的条件,通过奇式(偶式)延拓,便叮得到f(t)的 Fourier正弦 (余弦)积分展开式 2. Fourier变换 (1) Fourier变换的概念 Fourier变换对的一般形式 lf(t)]=F(w) T(t )e d f(t)=-[F(a)]= FO Fourier正弦变换对:当f(t)为奇函数时,有
第一章 Fourier变换 + FL(c]-F(a) f(t )sin wr d f(t)=5,[F()]= F(wsin wldw: Fourier余弦变换对:当f(t)为偶函数时,有 9.[f(t)]=F(a)=/(()cos cot dt 2 f(t)=。[F,(a)2 F(a)eo wt dw, 它们可分别简记为f(t)台F(),f(t)F(o)枚f(t)F() 显然,当f(t)为奇函数时,F(如)=-2jF,(a),当f(t)为偶函数 时,F()=2F,(a) (2)单位脉冲函数及其 Fourier变换 δ-函数的重要性质一筛选性质:若f(t)为无穷次可微的函 数,则有 8(t)f(t)dt=f(0) 一般地,有 a(t-to)/(t)dt=f(tu). 由这一性质,可得红8(t)]-1,气1]=6(t),表明8(t)和1构 成一个 Fourier变换对,记为a(t)1.同理,有8(t-t0)el 需要指出的是8(t)是一个广义函数,它的 Fourier变换是 种广义 Fourier变换.在物理学和工程技术中有许多重要函数(如 常数,符号函数,单位阶跃函数及止、余弦函数等)不满足 Fourier 积分定理中的绝对可积条件(即不满足1f()|d<∞),然而 其广义 Fourier变换是存在的利用单位脉冲函数及其 Fourier变换 就可以求出它们的 Fourier变换.例如 外11=2x8(a),e"’]=2x8(a-o0)