第五章大数定律与 中心极限定理 大数定律 中心极限定理
第五章 大数定律与 中心极限定理 • 大数定律 • 中心极限定理
§1大数定律 依概率收敛p145 设{Yn}为随机变量序列,a为常数,若任给ε>0, 使得 lim Pir-ake=1 n→)0 则称Ⅸ卫依概率收敛于a.可记为 P
§1 大数定律 一.依概率收敛 p145 设{Yn}为随机变量序列，a为常数，若任给ε>0, 使得 lim {| − |< } = 1 →∞ P Y a ε n n 则称{Xn}依概率收敛于a. 可记为 Y a. P n ⎯⎯→
Xn>意思是:当n→>∞时,落在 (a-E,a+E)内的概率越来越大 C-8 a a+c 而Xn→a意思是:VE>0,3m0,当n>o X-a <8
X a P n → n → ∞ 时,X 意思是:当 n落在 (a −ε,a + ε ) 内的概率越来越大. Xn a −ε a a + ε ,当 0 n > n 0 而 Xn → a 意思是: ∀ε > 0,∃n | X − a |< ε n
二.几个常用的大数定律 1.切比雪夫大数定律设{,k=1,2,,}为独 立的随机变量序列,且有相同的数学期望μ,及 方差2,则 X=1=∑kk 即任给8>0,有 lim PiY-uke n→0 P|∑Xk=4k n→) k=1
二.几个常用的大数定律 1. 切比雪夫大数定律 设{X k,k=1,2,...}为独 立的随机变量序列，且有相同的数学期望 µ，及 方差 σ 2，则 = = ∑ ⎯⎯→ µ = P n k n X k n X Y 1 1 即任给 ε>0，有 | } 1 1 lim {| lim {| | } 1 = − < = − < ∑= → ∞ → ∞ µ ε µ ε n k k n n n X n P P Y
证明:由切比雪夫不等式 {Yn-E(Yn)ke}≥1 D(Y 这里 E()=∑E(X)=D(xn) ∑D(Xk) k=1 n k=1 2 故P{|n-k<8}≥1 ne lim PiYn-uke=l n→0
证明:由切比雪夫不等式 . ( ) {| ( ) | } 1 2 ε ε n n n D Y P Y − E Y < ≥ − 这里 = ∑ = µ = n k n E X k n E Y 1 ( ) 1 ( ) n D X n D Y n k n k 2 1 2 ( ) 1 ( ) σ = ∑ = = {| | } 1 . 2 2 ε σ µ ε n 故 P Yn − < ≥ − lim {| − |< } = 1 → ∞ µ ε n n P Y