第四章随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数
第四章 随机变量的数字特征 • 随机变量的数学期望 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差和相关系数
§1数学期望 数学期望的定义 例某班40名学生的成绩及得分人数如下表所示: 分数4060708090100 人数 6915 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 1×40+6×60+9×70+15×80+7×90+2×100 1+6+9+15+7+2 15 =40+60+70+80+90+100=765(分) 404040404040
§1数学期望 一.数学期望的定义 例 某班40名学生的成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 100 76.5( ) 402 90 407 80 4015 70 409 60 406 40 401 1 6 9 15 7 2 1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 分 + + + + + × + × + × + × + × + ×
·定义:若X-P{X=x}=pk,k=1,2,n,则称 E(X)=∑xkPk 为rX的数学期望,简称期望或均值 定义:(p110)若X~PⅨX=x}=pxk=1,2,且 ∑|xk|Pk<,则称E(X)=∑xkPk k=1 k=1 为rX的数学期望 数学期望—描述随机变量取值的平均特征
• 定义 : 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称 ∑ = = n k k k E X x p 1 ( ) 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。 • 定义 ： (p110)若 X ~ P {X = xk} = pk, k=1,2,…,且 ( ) . 1 ∑ ∞ = = k k k ∑ < ∞ E X x p ∞ =1 | | k k k x p ，则称 为r.v.X的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 描述随机变量取值的平均特征
例2掷一颗均匀的骰子,以X表示掷得的点数,求X 的数学期望 E(X)=∑(k)= 62 定义:若x-f(x,∞<x≤,|x|f(x)d< 则称 E(X)= Xf (x )dx 为X的数学期望。P(110) E(X)=∑xkPk k=1
例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X 的数学期望。 2 7 ) 6 1 ( ) ( 6 1 = ∑ ⋅ = i= E X k • 定义 : 若X~f(x), - ∞<x< ∞, ∫ ∞ − ∞ E ( X ) = xf ( x )dx . < ∞ ∫ ∞ − ∞ | x | f ( x )dx 则称 为 X 的数学期望 。P(110) ∑ = = n k k k E X x p 1 ( )
例3.若随机变量X服从拉普拉斯分布,其密度函数为 x f(x)=exps 试求E(X) 2 解 ()=x exp dx ∫",2c9e=∠
例3. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − λ µ λ x f x exp 2 1 ( ) 试求E(X). 解 dx x x E X ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − ∫ ∞ − ∞ λ µ λexp 2 ( ) { } t dt t x t λ λ λ λ µ µ exp | | 2 − + = ∫ ∞ − ∞ − 令 = = µ { } − = µ ∫ ∞ exp t dt 0