及 夕n9 証.当n=1时,(1)式显然成立,現在行归納法,由定理1可知 Pnqn-1-Pm-1gn=(anPe-+Pn-2)qa-1-(amqm-1+ga-2)Pa-1 敌得(1)式由此拌定理1又可得出 p4n=2-p-,=(an叫+p-2)qn=2-P-2(nn-1+qn-2) an(pn-1qn=2-Pm-n-)=(-1)°“n 由(2)止刻得出一个单递升貫 及一个单調递降貫 井且由(1)立刻得出 我們現在来飪明 定理3 因为qn=ann1+qn2≥qn1+1≥(qn-2+1)+1≥…,所以这定理又可以是 下泷定理的挫, 定理4 e-P≤ 缸。我們有 u,…a s41≥ 所以 夕n -)4二P n+舞十q,) 1 s.+1 侧1 169 408408×(408×2+19)408×9854×105 √2-1与169的误差不超过四十万分之一 侧2.围周率 28·
丌=[3,7,15,1,292,1,1,…] 的渐近分数是 2,2,B,12 在我国五世紀时,租冲之以丝作为疏率 355 作为密率,由以上的定理可知 355 113113×33102105 故取为 355 将准到小数大位 113 記,实质上,P是分母≤q的一切有理数中与最接近的数,关于此点我們 这儿不加証明(可参考数諭导引,p.271-272) 树3.为什么四年一閏,每隔四年添一天?为什么第一百年又少圉一天? 地球辘太阳一周需365天5小时48分46秒,也就是 5 10463 2424×6024×60×60 43200 展开为連分数得 6÷10463 365+111.1 43200 7+1+3 5十6 算法为 10463441852 943671348 10271{1027 645{320 6464 它的分数部分的渐近分数是 83116310463 29’33128’673,43200 这說明四年加一天是初步的最好的逼近.但29年加7天更精密些;33年加8天又精密 些(也就是99年加24大,我們的算法是100年加24天);128年加31天更精密(这就是 說,头三个33年加8天,后一个29年加7天,共29+33×3=128年加31天.在四百 年內,有三个128年,四个4年,所以四百年加3×31十4×1=驴天,这与我們的算法 相同);等等 由上看来,我們的历法是相当精确的
例4.农历月大月小是怎样来的? 从太阳上看月亮镜地球一周所需要的时間为295306天,展成分数得 05306=1111111.1 1十1+7十1+2十33+1+2 它的漸近分数是 118926367 21517491634 故就一个月来說,最近似的30天,2个月就应当一大一小,15个月中应当8大7小,17 个月中9大8小等等,就4个月来說,前两个17个月里,均信9个大月,蒋15个月有 8个大月,共49个月中有26个大月 侧5.怎算农历的閏月? 3652422-12.37… 295306 将0.37展开成速分数,得 03=2+1+2+2+1+3 它的漸近分数为 113.7.10 因此,二年一閻太多,年一閏太少八年三閔太多,十九年七閂太小,等等 侧6.月鱼的周期是多少? 朔望月就是相同的月面位相隔的时間,它等于29.5306日.交点月就是月球在恍軌 道上从“交点"(“交点”就是月亮糖地球軌瀟与地球繞太阳軌道的交点)开始德地球一周再 回到这个“交点”所需的时問,它等于272123日。 295306 111111 111 272123 11+1+2十1十4}2+9+1+25+2 考虑1+1111 242 11+1+2+1+4 經过223个朔望月或242个交点月,这就 223 是月蝕的周期,它等于223×295306天=6585天一18年零11天 恻7.火垦高地瓛最近的一年叶火星的大冲,已知火星公轉一周是687日.因为 365,251十 1+7+3+1+4十 考虑1+11=15,所以每隔15年有一次大冲 + 14.謨差 上面我們用无穷小数来描遽实数,但在实际齡算时,我們总是用有限部丹来計算的
这种取合之間便产生謨差.取近似值的方法有两种:一种是取到小数第n位,以下的都舍 弃掉,如此就得 0≤a-an<1; 另一种是四合五入法地取到小数第n位,这样的近似值p适合于 2m≤a-<2 在实际計算时,我們必须注惫两件事:(1)原實料数字的精确程度;(2)在計算时可 能产生的误差.如果我們用位数过多的并不可靠的数字人算,是徒劳无功的,因而也是完 全不必哭的,我們現在不原查料所产生的可能誤差,而只談計算醍差.在計算的时 候我們必須先注意所廴算的数字的可靠性;另一方面,我們也必須了解对答案的精确度 的要求,这样,針对前者,我們可以不算沒有把握的計算,而对于后者,我們可以免去不必 要的計算 我們現在只准备說明几条最筒单的估計方法, 定义,若量A以数a为其近似值,則A与a的差的絕对值称为a的对差,又相对 偰差是a的絕对模差和它本身的絕对值的比值就是|A-a|/1a| 箱对醍差和相对差都是沒有实用价值的概念,一般誹来,我們应用最大箱对鼷差 (或称外粞对誤迷)或最大相对醍差(或称外相对醍差)所謂最大相对瞑差,就是指 A-a/l的某一有把握的上界.例如,用四舍五人取n小数所得的最大相对誤差 就是11 2a10n 例.3.14是z的渐近值,七的絕对誤堂是0.0059…,0.0016可以用作最大絕对課 差,而 0.0016 =0.00051 3,14 是最大相对 我們用8表A对a的最大相对差、则得 A=a+a08a,|θ1≤1 今后我們用θ代表一个絕对值≤1的数,但是每大不一定代表同一个数, 从 B=b+b0b10}≤1 可得 4+B=a+b+(a+b)6 88)sa+b+(a+b)max(., ab) 另一方面 A十B≥a+b一(a+b)max(a4,ab), 甲 因而得出 1)有时也将耗对醍差与景A的超对值的比值【A-a1∥4|定义作周a来近似A的相对整
a≤max(ab), 此处max(a,B,…)代表这些数中最大的一个 又从 AB=ab(1+68)(1+06)=ab(1+0(bn+b+8,b)) 可知 b≤ba+bb+b 但是一般誹来,Bb,都是很小的数所以。更小,因此我們也不妨写成为 b≤b4+bb 2) 同样,对任一自然数m有 又 Aa1+68.a Bb 1+083 b 1+二a 1+6d 由于 1+086≥1-ab I st+ 1-; 8e 可知,如果略去:,8,,与8郎得 ♂a≤ba+bb (4) 树1,在束方柱体积=时,p=28,+ 例2.A与B用四舍五入所得的数值各为3.14与232,求A+B,A一B,AB与 d/B的誤 命 dA〓3.14十 6,B=2.32+ 4+B=546+0 102 可知5.45≤A十B≤5.47.A+B的确小数他是5,准两位,而A一B=0.82+ s0):0,81≤A-B≤0.83,所以A-B的准确小数是08.间法,7,25≤AB≤731 B=7.3,1.36≤M/B≤1,38,A/B=14 定叉,从左方数过来第一个非0的数宇叫做第一位有效数字.例如,0.034中第一 位有效数字是3.一般說来,一个数字有n位有效数字的意义是:在第n位以前的数字与 精确数字相同,只有第加位数字可能与精确籹篚的同位教字有所不同,但差別也不大于一 个单位 侧1.31416是丌按四舍五人法来計算出的五位有效数字,而315是略去尾巴而