序 言 这部书的第一卷终于交印了,它既是急就章,是拖脊篇.1958年匆匆上马,现想现 写现印现讲,有时写稿不过三遍,仅仅经过起草、改、正三道手续便拿去付印有时候 校对来不及,就不校对了,因而原讲义上错误百出,疵谬迭见,所以说这是急就章.如果 能专心一志地连续地干下去,那还可能比较好些,但又经常为其它工作所打断,因而写一 段停一停,改一章放一放的情况又经常出现,所以说是沓篇紧紧松松,赶赶拖拖.因 而详略不一,前后不贯,轻重失调,呼应不周等毛病在所难免的了 情况是如此,虽然经过同志们的帮助和修改重写但还可能留下不少后遗症这样的 草率工作本来不该交印的,但不少同志热情鼓励,几经终于把它出版了,希望经过读 者的帮助,人多眼多、想法多,多提意见将来可以改写得更好些 这个课自始至终是和元同志合开的,他对原稿的形成与改写都提了不少意见,并且 有不少章节都是出诺他的手笔在共同教学中一些心得已经吸收入我们合著的“积分的 近似计算”一书中(科学出版社1961年初版),1961年龚升吴方等同志又用这讲义教了 一遍,修改了不少最后定稿又经过曾肯成许以超、史济怀邓诗涛李调生、刘碧梧等同 志的细心校阅提了不少意见。个别章节还获得了戴元本陆汝钤、韩京清、周永佩、罗祥 钰、曹传书、吴松林、江嘉禾、李培信、邵秀民、陈志华石赫、殷慰萍等同志的帮助,有关这 些我在这儿表示谢意特别应该一提的是:在最后定稿的时候获得了中山大学吴兹潜、 林伟二同志的帮助,他们一字不苟地校阅推敲,使本书避免不少错误这样的主动地来自 其他院校的帮助只能归功于集体主义的优越性 在写作的过程中参考过熊庆来的“高等算学分析(1934);苏步青的“微分几何学 (1947):赵访熊的“高等微积分”(1949);孙光远、孙叔平的“微积分学”(1952);陈建功 的“实函数论”(1958);杨宗磐的“数学分析入门”(1958);樊映川等的“高等数学讲义” (1958);陈民的“高等数学教程”(1958);关肇直的“高等数学教程(第一卷)(1959) 江泽坚的“数学分析”(1960);北京大学、复且大学南京大学及高等数学教科书编审委员 会的“高等数学教程”,我在此致谢其他作为参考的外文书籍不在此一一列举了
在写作的过程中,曾经有过一些努力,企图能更好地体现党对教学改革的方针,但是 由于自己射理论和业务水平,没有能够较好地做到,读者可能发现一些其它书上所没有的 材料,也可能发现一些稍有不同的处理方法,但毕竟是太少了.在谈到这一点的时候,感 到空虚,并且诚恐会错误百出.大家所公认的辗转传抄的已经成熟的材料,错误还有时 难免,何况第一次写下来的东西,那更使人耽心了,但是还是斗胆地放进书里去,作为引玉 之砖,作为试矢之的。特别是一些高的内容放低了,难的内容改易了,繁的内容化简了的 部分更希望大家指正,但是我个人深信,只要每本书都有些章节改进,集腋成裘,我们教 学改革会汇成巨流的,辛勤的点滴劳动,可能是大丰收的预兆 大学教书不是照本讲因此本书也准备了一些可教可不教的材料,教师们可以灵活掌 握,余下的材料可以作为学有余力的同学的课外读物。习题应当做,并且适当地要多做 些.本书没有组织好习题,希望老师们自己设法组织.习题的目的首先是熟练和巩固学 习了的东西;其二是初步启发大家会灵活运用独立思考;其三是融会贯通,出些综合性的 习题把不同部门的数学沟通起来 在教学过程中深得教学相长的益处,其中不少是由于同学所提意见的影响,我把所得 到的一些不成熟的看法写在下面供同志们参考.我讲书喜欢埋些伏笔,把有些重要概念、 重要方法尽可能早地在具体问题中提出,并且不止一次地提出.目的在于将来进一步学 习的时侯会较易接受高深的方法,很可能某些高深方法就是早已有之的朴素简单的方法 的抽象加工而已.(有些深化了些,有些并没有深化而仅仅是另一形式而已)我也喜欢生 书熟讲熟书生温的方法,似乎是在温熟书,但把新东西讲进去了,这是因为一般讲来,生 书比旧课,真正原则性的添加并不太多的原故.找另一条线索把旧东西重新贯穿起来这 样的温习方法容易发现我们究竟有哪些主要环节没有懂透.有时分讲合温,或合讲分温, 先把一个机器的零件一一搞清,再看全局,或先看全部机器的作用和目的,再分析要造成 这个机器需要哪些零件而把条件一一讲明.“数”与“形”的“分”和“合”,“抽象”与“具体 的“分”与“合”都是在反复又反复的过程中不断提高的,同学也要求讲讲“人家怎样想出 来的”,因而在讲书时也曾作过尝试,主观地推测一下,这很可能并不是原来的想法,但给 出一条“这一步看下步并不难,连看几步就达到目的”的途径,作为同学们的参考 以上一些肤浅的看法在讲课时都尝试过,但绝大部分写不下来,或者写下来就走了 样,因此,同是一部书,可以多样讲,讲义作参考,结合同学的实际情况能灵活掌握才好 拉杂地写了这些意见,与其说是对教师讲的,还不如说是对同学(或自学的人)讲的
总之,由于水平的限制,虽然黾勉从事但缺点一定不少,我诚挚地希望读者们多提意 见更希望教师们多多指教 最后,特别需罢提起的是:由于中国科学院数学研究所党组织的支持,才使我有机会 讲授基础课和编写讲义;在編写过程中,自始至终得到了中国共产党中国科学技术大学 委员会的鼓励关怀与支持,还给予了具体的帮助,这是我衷心感激的.有了觉的鼓励、关 怀与支持,使我这几年来敢于按照自己的一些肤浅的设想来进行教学的尝试使我这几年 来有勇气把第一次写下来的东西放到课堂上去教,使我这几年来能把这项工作坚持下来 至于中国科技大学教务处、数学系与数学教研室的同事们在我从事这项工作的时候, 直给我方便与帮助也在此表示感谢,对科学出版社的感谢,那就更应当在此一提了,他 们花了大量的劳动在制图、编辑加工、排版印刷、校对等方面都做了细致而深入的工作 华罗庚 962年6月1
第一覃突数与复数…………………………………………1 51.有理数 §2.无理数的存在………… 53.实数的描逃……………… 甲一 3 54.极限 6 55. bolzano- Weierstrass定理……………… 9 §6.复数的定义和矢量 12 §7.极坐标及复数乘法 14 §8. De Moivre定理… 59.复数的完备性…………………………………………………………19 §10.四元数簡介…… 补充 511.二进位計算 512.循环小数… §13.有理数接近实数 26 §14.誤差… 中。非中专 30 §15三、四次方程解法…………………… 单命34 第二章矢量代数…… §1.空間坐标系及矢量的定义 §2.矢量的加法 53.矢量的分解 54.内积(无向积,数性积)…………… 55.矢量积(外积)………………… §6.多重积…… s7.坐标的变換 §8.平面… §9.空围直钱方程…… 补充 510.球面三角的主要公式 2
511.对偶原則 §12.直角三角形与直边三角形的計算規則…… §13.力,力系,等效力… §14.卒行力的合并 515.力矩 §16.力偶…………………………………………………………………60 517.力系的标准形式…… 62 §18.平衡方程及其应用 第三章函数与图形………………… 67 §1.变量 §2.函数 §3,隐数……………………………………………………………………………68 54.囡数的图表法……………………………………… 55.几个初等函数 56.囡数的一些箇单特性 73 §7.周期图数…………… 75 58.复变数函数表示举例………………………………………………………………76 §9.迥妇直……………………… 510. lagrange插入公式… 511. Newton,Bese, Stirling插入公式……… 512.糨驗公式 §13.曲载族 第四章极限………… §1.贯的趋限情况 92 §2.貫的不趋限情况… §3.极数 §4.杂件收斂的殺数 101 55.恶冲之計算团周率的方法 104 56. Archimedes求抛物形面积法 57.旁压力的算……… 107 58.数e §9.潓續趋限……………… 110 §1U.几个重要极限 511.一些例子…………………… 113 §12.无穷大之阶 115