序言 原来准备写一部《高等数学引论》,共六、七卷.其中第一卷第一、二分册已于1963年 问世.但由于十年浩劫,其它手稿大部分遭到一“抄”,二“盜”,三“失散”的命运,现在检 查劫余,已所剩无几了,于1981年出版了第二卷第一分册.本拟鼓其余勇完成原来计划, 但实事求是地估计之后,看来所散失的手稿归来无望,重新补写完成全书,诚恐是时不我 待,力不从心的愿望了.无已,作两步打算,先把1962年在中国科技大学讲授过的铅印 而未逸散的部分出版,以后,再就力所能及进行写作陆续出版(在同一或不同书名下) 好在这一部分是有它的独立性的,讲授时的客观情况是:既要照顾到初学同学的水 平,又要使前者不越级,后者不觉得是简单重复,总的原则是重用矩阵,实现“1,2,3;7 c”讲授法的第二步,即,准备前几卷是讲一二、三个变数 三维空间而这一卷是 讲a个变数或n維空间.本卷原稿缺第十、十一、十二,三章,据回忆这三章是讲n维空间 微分几何学的原稿虽失,但读者不妨以第一卷空间曲线的微分几何为模型,运用正交群 下斜对称方阵的分类而获得n维空间曲线的微分性质.这是一个好习题,如果能做得出 则可把正交群改为其它群,而研究其微分不变性质 岁月无多,不得不计日图效,错谬之处请读者指正 华罗庚 1981年10月11日 又序 我非常感谢科学出版社能够出版这残余的手稿.这是对科学工作的珍视,但编辑就 为此增加了不少麻烦花费了不少精力,我在此致谢 当年在科技大学编写此书时,龚昇同志给我许多帮助,在寻找遗失稿件时,他还多方 尽力 对龚昇同志和负责校对的裴定一同志我在此敬致谢忱 华罗庚 1983年9月9月
目 录 序言又序 第一章线性方程组与行列式(复习提纲)… §1.线性方程组… §2,消去法……… §3.消去法的几何解释 54.消去法的力学解释………… 55.经济平衡 图图果 §6.线性迴归分析 111345579 §7.行列式 58. Vandermonde行列式… 59.对称函数……… 510.对称函数的基本定理 511.两个代数方程有无公根 §12.代数曲线的交点 513.行列式的幂级数 §14. Wron:ki行列式的幂级数展开……………… 第二章矩阵的相抵性……………………… §1.符号 §2,秩 §3.初等运算…… §.相抵……… §5.m维矢量空间 56.矢量空间的变换 §7.长度、角度与面积等 §8.函数行列式( jacobian)…………… §9.隐函数定理… B甲中中击,市 §10.复变函数的 Jacobian………………… 21.函数相关…… 512,代数处理……… 第三章方阵的函数、贯及级数……… §1.方阵的相似性 §2.方阵的幂……… §3·方阵乘幂的极限 5.幂级数…… §5.幂级数举例 ……51 56.迭代法 57、关于指數函数………………………………………………………………5
§8.单变数方阵的微分运算 第三章的补充 §I. Jordan标准型的幂级数…… §2.数的方阵幂 53.特殊X的 §4.∝与X的对应关系…… 第四章常系数差分方程与常微分方裎…… §2.常系数线性差分方程一母函数法 53.第二法一降阶法 §4.第三法 变换法 §5·第四法—矩阵法 56.常系数线性微分方程…… 7.有重量质点绕地球运动……… §8.振动 59.矩阵的绝对值………… 510.线性微分方程的唯一存在性问题 73 §11.第积积分… §12.解的满秩性……… 甲香 §13.非齐次方程…… s14.微扰理论……… 81 数方程 516.解微分方程dX/dt=AX+XB… 第五章解的渐近性质… §1.常系数差分方程 §2.广相似性… 53.常数系数线性常微分方程组… §4.yHoB法介绍… §5.稳定性…… 6,yHoB变换 57.周期性系数的微分方程组 , §8.丌 AnyHOW等价 §9.通近于常系数的差分方程与微分方程 第六章二次型 §1.凑方 §2.大块凑方法……… §3.仿射几何二次曲面的仿射分类 §4.射影几何 §5.二次曲面的射影分类…… §6.定正型 §7,用凑方法求最小值 110 §8. Hessian
§9.常系数二级偏微分方程分类 I12 §10. Hermitian型 §11. Hermitian型的实形式 第七章正交群与二次型对 I16 I,正交群 §2.定正二次型约平方根作为距离函数…… §3.空间的度量………………… 120 §5.正投影………… §6.西空间………… §7.函数内积空间引……… §8.特征很……………… 129 §9.积分方程的待征根………… …132 §10·对称方阵的正交分类 …132 s11.二次曲面的欧几里得分类 §12.方阵对 s13.斜对称方阵的正交分类… 4.辛群与辛分类 515.各式分类 516.分子振动 第八章体积………… …142 51.m维流形的体积元素………… §2. Dirichlet积分 145 §3.正态分布积分 §4.正态 Parent分布… s5.矩阵变换的行列式………… §6.西群上的积分元素 §7.(缤)…… 【54 §8.实正交方阵的体积元素… 实正交群的总体积 下甲,P 第九章非负方阵…… 159 1.非负方阵的相似性 159 §2.标准型 §3.基本定理的证明 §4.基本定理的另一形式………………… §5.标准型方阵的四则运算… s6.方阵大小… §冫·强不可拆方阵……… §9.连续随机过程… i70
第一章线性方程组与行列式(复习提纲) 5L.线性方程组 考虑齐次方程组 1. (1) 这儿a;是复数〔或实数)x1;…,xn是未知数,方程组(1)显然有一个解 这个解称为显见解 研究齐次方程组的基本问题是:除显见解外,(1)是否还有其他解?能否定出所有的 解来 非齐次方程组 的基本问题是:(3)是否有解?能否定出所有的解来 如果(3)有一个解(x1,…x,即 xi= b 命yx;-x,则y是(1)的解.所以解非齐次方程组的问题一变而为两个:首先是 是否有解,其次定出齐次方程组(1)的所有的解来 关于是否有解有次之重要结果 如果(1)有非显见解,则(3)不能对所有的b4……b都有解。 如果(1)仅有显见解则(3)对任意的b……,b都有解 §2.消去法 解线性方程组(3)的方法我们着重复习一下Gaus消去的原则,以四个未知数、四个 方程为例 a1x1十a12x2+a1x3十a1x4甲a15 an,+ a2+a2*3+ 424 t4 -425, a3 r t ax*2+ atst aMr,=a3s 十 1111612