De Moivre的定理有以下的应用 例1.由 cos29+isin26=(cosB+isinθ)2=cos2θ-sin26+2isinθcs0, 比实数部分与虛数部分,得出倍角公式 cos 20 a cos'8-sin20, sin 20=2 sin 0 cos0 一般地說,从 cosmo+ i n0=(cos0+isin). 可得 cos20 sin20+ cos=40 sin*0+ 2k/ cos -2k0 sin 240+ (-1)2sin”0, 当m是偶数 0sin"-0,当n是奇数 及 inne cos" sin a cos-30 sin 0+ 2+1)cos2-10sin2+10 (-1)2cosθsin-10,当n是偶数 n”b, 当丌是奇数 例2,求和 A,=1+rcos日+r2cos2日÷… rlcos(n-1)日 Bn=rsinθ+r2sin20+十r"-sin(a-1) 作复数An+iBn,由 De Moivre定理可知 An十iBn=1+r(cos日+isin0) 72(cos 20 + isin 20)+.+ r-l(cos(n-1)0+i sin(n-1)0) 1+r(cos+isin 0)+r2(cos0+ isin 0)2+...+ r-l(cos 0 + i sin) 1 5n0+isin ne) t-r"(cosn日+ s0+ ir sin e r(cos+isin日) b+ sr sIn日 ricos(n-1)0 osm日-rcos0+1 2rcos日十 比較实数部分及虛数部分可知
6+1 r2-2rcos0+1 B, =sin(n-1)0-r"sinn+ rsin 0 r2-2rcos0+1 §9.复数的完备性 关于极限的概念十分容易地推广到复数范围 定义1.一个复数實 如果复数a具有以下性质,则則称a为这个复数贯的极限:任耠e>0,存在一个自然数N3 使当n>N时, 定义2.适合以下条件(称为 Cauchy钊别条件)的复数贯 称为收斂贯:任c>0存在一个自然数N使当l,m都大于N时,有 定理1.凡收斂貫一定收斂于一个复数 这定輿的証明很容易,由条件可知,an的虚、实部分各成一收斂貫,然后由实数的性 质立刻得出本定理 定理2.在一有界的无穷点集中一定可以选出一个有极限的子貫 所以复数具有实数所有的一切完备性:对极限自封,对加减、乘、除自封,并且还多 了一个性,是x2+1=0是可解的.是否还有方程在复数范围内不可解?如有,我 們还可能扩张复数系航,不必再扩张了因为任何方程在复数范围内都可解 定理3(代数方程基本定理.任何,个复系方程,定至小有,个复数根,换富 之,在复数范围内沒有一个方程是不可解的 我們不在此証明这一定理,以后訴复变数函数論时再加以論証 如果x是代数方程 的一个根,也就是f(x)=0,则由 x=(x-x1)(xm-1+x-x1+……+x1) 可知多項式 f(x)=∝nx+以n-1x-}+…+a1x+a= f(x)一f(x1)=an(x"-x)+an-1(x”-一x-4)+…+a(x-x1)+a-a 即f(x)有一个因子(x-x),换句話說,如果fx1)=0,則(x-n1)一定除得尽
f(x).去掉因子(x-x1)之后,仍然得一多項式,用以上方法又可求出另一因子(x-x), 等等,依此方法簇行,可知在复数范围内任一多項式可分解为 也就是說,如果連重根的个数也計算在内,那末,个n次方程,定有n个根,并月不能再 这說明了复数域有代数自封性 从以上所得的精果也可以看到, anx?+……十a1x+a=an(x-x1)……(x-x)= =anx"-61x”-1+…十(一1)x+…+(-1)"n 此处a是从x(=1,2,……n)中任取个所得乘积的总和,也就是 1=x1+…+xn2=x1x+x1x3十十x2x3xn-xn…,dn=x1x…·“其 比鞍系数可見 (-1)° 我們現在考虑实充数多項式 八(x)=anx十x-1x"-1+…十ax+a 如果f(x)有一个复根a+B即 f(a+ Bi)0 則a-B也是一根,所以fx)可以被 [x-(a+Bi)][x-(a-B)]=(x-a)2+82=x2+px+q a2+B2) 除尽,用x2+px+q除f(x),得出 f(x)=(x2+px+q)1(x) 再研究f(x)=0,陆續进行可得以下的 定理1.一个实系数多項式可以分解为一次与二次的实因子, 所以一个实系数方程的复根是共軛地成对出現的,并且一对复根的重数相等;由此也 推出,实系数的奇次多項式至少有一个实根 §10.四元数簡介 上面我們已餐看到了把实数扩充到复数的过程,井且已經知道复数对四則运算自封、 对代数运算自封和对极限也自對諸性盾.在代数的研究中,我們还可以把复数再扩展,扩 展成为一个更大的系,称为四元数.复数仅有两个单元1与i,而四元数有四个单元 1,;jk。一般的四元教的形式是 此处abc,d是实数,两个四元数的和与差定义如下設 ·20
β=a'+bi十ci十dk a士B=(a±a')+(b土b')+(c士c")i+(d±d)死 乘法的規則依賴于 一般誹来 β=(a十bi+cj+d)(a+b+c+dk)=(a-b'-cc'-dl')+ +(abt ba +cd-de i+(ac+ ca+db- bdi+ ) 四元数的加法也适合交換律和合律,我們不难証明,乘法虽然适合精合律,但是并 不适合交换律,这是和复数与实数最显著的不同,换云之,我們有 a(By)=(aB)y 但是一般誹来, a÷Ba 而乘、加之周的分配律依然正确 現在先研究怎样的a能使任一四元数β常有a一Ba.由ai=ia可知c=d-0; 又由∝=j可知b=d=0,郾当&是实数a时才可能与所有的四元数交懊,实数域 是四元数域的一部分,它是和所有的四元数都可以交换的数的集合 我們定义 a=a-br-ci-dk 为α的共軛数,实数 a2→b2十c2+d2 各称为a的迹和a的模,各以S(a)与N(a)表之,显然有 S(a+β)=$(a)+S(β) 我們現在証明 N(aB)=N(a)·N(B) 在証明此式之前我們先提出另一重要性质 a=阪 这可以从乘法公式直接推出来由此立得 N(a8)=(aB)(aB)=(a8)()=a(BB)a=N(a)·N(B) 如果N(a)=0,刨a2+2+c2+d=0,則a=b=c-d=0,因而a=0 又若aB=0而a≠,在此式两边同乘以a,則得 所以β=0;同法若β≠0,可以得到a=0.换詈之,从aB=0可知a=0或
B=0 又a适合方程 x2-s(ax+ N(a=0 原因是如果把x=a代进去,則得 a(a +a)a+aa s o 同样x=a也是一根,但与复数域中不同的是二次方程往往不止两个根,例如,最筒单 的方程 一眼就看出它至少有x=士i,±1,±k六个根,实际上它有无穷个根,适合于p2+q2+ r2=1的实数p,q,r常使 (pi+qi+r)2=-(p2+g2+r2)=-1 关于四兀数的一些几何意义将見于下章中 补 充 §11,二进位計算 在51里巴提到二进位,部只要用0,1两个符号就可以表达出一切自然数来.当然 在书写的时候,二进位最长.但由于可以用电路的开来表示1,电路的关来表示0,所以 用二进位最便于化成机器的动作.因此二进位制已錾成为井常实用的了下面介紹二进 位的一般运算 刽1.101011.1011+11.0011=11010.111.算式是 101011.1011 111.0011 1100101110 2.101011.1011-11.0011=100100.1,算式是 1010111011 1110011 100100.100 树3.1101,1×10,1=100001.11.算式是 1101.1 X10.1 11011 110110 1u000111