号 中 y +p(a+c, b+d) 而乘法的定义是 aB=(a, 6)(c,d)=(ac -be, ad+bc) 定义矢量为平面上有方向有长短的緩段.我們现在討論的矢量是指有以下意义的自 由矢量:同方向等长度的矢量不加区别地看成为一个矢景.例如,由原点出发到(a,b) 点的矢量和由(6,7)点出发到(a+,b+n)点的矢量就被看成为同一矢量.所以, 一个复数代表一个矢量:并且一个矢量也代表一个复数 (a+cb+4) (c,d) (a+合b+n) 图7 两个矢量的和的定义:把第二个矢量的起点接在第一个失量的終点上,由第一矢量的 起点到第二矢量的移点的矢量便是这两个矢量的和.第一个矢量用(a,b)表示,第二个 用(c,4)表示,把第二个矢量移成为从点(a,b)到点(a+c,b+d)的錢段.显然可 見,这两矢量的和矢量(a+c,b+4)就是以矢量(a,b)及(c,d)为边的行四边形 的对角後,这叫做于行四边形法到由此可晃,矢量的加 法和复数的加法是完全一致的, 7个复数 (akb)3=1 的和等于 (a1+…+anb1+…+b) c1+a2+g3+《q 它的几何意义就是把所对应的各个矢量一个接一个地画 下来,从a的点到an的移点連成一个矢量,这个矢量就 I3
代表了我們的复数之和 不难看出,复数的和井不依赖于各項的先后欢序(交换律,就是a+β=B+a);各 項可以任意粗合地先求和或后求和(釉合律就是a+(8+γ)=(a+B)+y) (e, d) 减法就是加法的逆运算,两个矢量的差为 (a,b)一(c,d)=( b一d 这就是做一个与(ce,d)方向相反的矢量(-c,-a) 把它加在(a,b)上 由勾股定理可知,矢量(a,b)的长度(郎原点(0,0) 至点(a,b)的距离)等于√a2+b,它称为矢量的模数, 也称为所对应的复数a的絕对值.用1a表它.同样可 知,点(41b)至点(a2,b2)的距离为 (a1-a2)2+(b1-b2) 因为三角形两边长之和不小于另一边长,可知 a+1B|≥{a+B 这一公式的解析麦达式是 a2+b2+√e2+a≥√(a+c)2+(b+t)2 (3) 莨者試自己宜接明一下,一般說来,上式是取不等号的,只有当两矢量同向的时侯,才 取等号 同样可知 a+…+an!≤la1|+…+|al 且仅当a3,…;an都同向时才取等号 命γ=(a,f在式(2)中以y-a代B2可知 a+{y-a|≥i| 所以得出 Ir -al>llrI-lall 从而我們得出 a-|B≤|a-B|≤|a|+|B1 §7.极坐标及复数乘法 在說明复数乘法之前,先介紹复数a=(a2b)的另一表示法,刨极坐标表示法.用 卩表示矢量的长度√a2+b2,用表示矢量和x軸所夾的角度,称为輻角.現在任何一点 (a,b)都可以表成为 a=pcos6,b=psin0,0≤p,0≤<2r: 就是a=(pcos9,psin0)除掉原点(0,0)以外,其他任一点一定有唯一的一粗p0, 且对适合以上条件的不同的P,0粗,对应的点也各不相同 14
如果 B=( (a,b) 則乘积 aB=(ac-bd, ad+bc) (pr( cos 6 cos- sin 0 sind) ( cost sin+ sin Ocosψ) (pr cos(6+y), pr sin(0+d) 換之,两个复数乘积的对是各因子斜对值的乘积,其幅角等于各因子幅角的和 当然可以推广为:几个复数乘积的絕对值等于其各个因子絕对值的乘积,其輻角等于 各个輻角的和 由此可見,复数的乘法扦不依賴于各的先后次序(交換律,就是aB=Bx),也不依 顆于任意粗合地先求积或后求积(精合律,就是a(By)=(哗)y)3也不难看出分配律 ) 成立。者試自之 除法是乘法的逆运算,我們有 o 02.psin B(rcosψ (cos(一d),sin(0一)),(x≠0) 把a=(a,-b)定义为a的共軛数,显然有 aa=(a, b( b +B=a+b, ab= ab 由乘法的性质可知,在研宪复数时,我們有两个重要的单位 第一个单位具有 的性质,所以我們就用1来表它.(a,0对应于a.所有的(a,0)与实数系完至 玫,我們也就簡单地用4来代表(a,0) 笫二个单位用以下的符号 显然有 1 形如(0,b)的复数,我們就用b来表它,如此任一复数都可以写成为 运算法則可以写成为 B=(a+ bi)+(c+ di)=a+c+(b+d)
b(a+ bi(c +di)-ac-bd+(ad bc) )(a-的)=a2+b2=ja|2 a称为复数a的实数部分,有时用符号a表它;b称为虚数(或綞虚数)部分,用sa表 它。我們称x軸为实軸,y軸为虛軸. 我們現在談一下复数乘积的几何意义, 定义.二矢量a=(a,b)与B=(c,d)的内积为 a·β=(a,b)·(c;4)=ac+b 用极坐标,内积就是 p(cosθcosψ+ sin 8 sin)= PT cos(日-ψ), 这儿θ一ψ是两矢量的夾角 a·a=a2+b2是矢量a的长度的平方,矢量a与B的夾角的余弦也可以表示为 ac +t bd cos (e-r) B (1) b2yc2+d 由此可見,如果二矢量的内积为零,則它們是互相垂直的 对应于(a,b)与(c,d4)的复数命之为a与B,則 p=(ac + bd)+(bc-ad )i 所以藏二矢量的内积也就是a的实数部分,也就是 (a,b)·(c,4)=1(aB+a3). 由此可以得出余弦定律 a-B2=a|2+|β|2-a-aB=|ai12+1B|2-2{aB'cos(0一的) B的虚数部分是 (a-aB)=b-ad=pr(sinθcosψ-cos0in中)= pf sin(θ-ψ 这就是以矢量(a,b)与(c34)做边的玊行四边形的面积 (a, b) §8. De moivre定理 我們立刻可以把乘法公式推广到几个复数,命a=p(cos+ i sin 8,),k=1,2
a…a,=p1…cos(1+…+日n)+iin(B1+…+日,) 可以用归網法来明这一秸果,当n=2时,由§7可知本精諭正供.假定这一精 論当n-1时正确,則 +isin(62+…+n-1)on(cosn+;sin日n) =p1…p(cos(θ1+…+n)+isin(61 +n)) 特別当p1=…=pn=p:日=…=日=日时,我們有 De moiⅳvre定理,对任一自然数m,常有 (p(cos 0 isin 0)*=p"(cos nB+ i sin n0 (1) 又由 cos0+isinθ)(cosθ-isinθ)=1, (cos0+isin 0)=(cos(-0)t isin(-0)) 可知,式(1)对負整数n也正确 利用 De Moivre定理我們可以解方程 (2) 或者更一般些,解方程 p(cos+isinψ), ≤ψ 命x=r(cosθ+isin0),则得 此处饣是一整缴,由此得出 (ψ+2),=0,1 它們都是方程(3)的不同的解,一共有n个 特別是方程(2),它的n个根就是单位国的内接正边形的頂点,命 e= cos 2x t isin 2x 則其他藷根可以写成为 一般說来,如果x是式(3)的一个根,則xe,xa62,……;xe 也都是式(3)的根。 3时 十z 时 17