则当n>N时, log o(n+D-lo n log o(1+ d) 但对于任意自然数N当n>102N时,logm>2N,所以logn?没有极限 定理1.,个单调上升的贯 a1≤2≤a≤…≤Gn≤… 如果它受限于上也就是有,常数M与n无关,使 G≤M,n=1,2 则这个贯,定有极限 证,先比较整数部分。由于都不大于M3所以除掉前面若干(有限)项外,从某一项开 始一定是一个不再变化的数;再论第一位小数,也一定从某一项起都桕同,这样继续进行 我们便一步一步地决定出一个无穷小数,因此得出本定理 同样地,一个单调下降的贯,如果受限于下的话,这个贯也一定有极限 例,贯∴-(1-2)(1-4)1-)为单调下降的贯,且有下限零所以 有极限 例7.试证贯x=V2+√+…+ 重根式)有极限 先证明x<2.当n=1时,√2<2.假定x<2,则x种=√2+联<2 故由归纳法可知x<2.另一方面,x为单调上升贯.故有极限 饲3.贯xn=1+1+1+1+…1趋一极限c(=27…).由n≥2 可知,x<1+1+1+…+<3,所以x是有上限且单调上升的贯,故有一 极限.这c是自然对数的基数 从实数 amam“·a1·b1b2 的表示法,我们可以得到一个单调上升的贯 这个贯的极限就是a.从β也可以作一个单调上升的贯乘积 也是一个单调上升的有理数贯并且受限于上,它有一个极限,这极限就定义为实数a与 P的乘积 不难证明 lim (omB, )=(limc)(limB.) 及对任一自然数q有 lim(ag)e(lima) 8:
又如果a>0,則必有一自然数N存在,使当n>N时 于是±成为一个单調递减的貫,并且受限于下因而有一极限存在,命之为B.不难証 明aB=1.我們写成B=a 命q表任一自然数,我們一定有一自然数l使a≤10,現在10an是一自然数, 我們有一唯一的自然数P。使 P≤10an<(Pn+1), Pn/10°,如此得出的是一递增貫,而且由an≤a≤10可知B2≤10,因此 存在,由B4≤叫≤(+10可知 βv= lima=a B 我們由此可以定出a的p/q次方 对任一正实数B3研究a2”的单調性,由此可以定义实数a 不难証明,实数对四則运算自封,也可以說所有的实数构成一个域.加法的交換、豬 合律依旧正确,乘法的交换、轱合律也正碘,加乘之間的分配律也正碘,在下节中,我們还 将証明它对极限运算也是封閉的 §5. bolzano- Weierstrass定理 从实数贳 an2 (1) 中我們任意取出一部分 此处n1,n2,…是自然数,且 n1<n<…<m< 貫(2)称为贯(1)的子貫 若贯(1)有极限a,則子貫(2)也以同一∝为其极限 如果a是(1)的极限,那末对任一>03必有一自然数N使当n>N时 因此可得当m>N时,有 郎有一K存在,当々>K时上式成立.这就証明了我們的命題 1108202
以上命题的逆命題是不对的,換言之,子貫有极限并不能說明原来的貫有沒有极限 例如,xn=(-1)”是一貫,它的两个子貫: x2-1=1, 及 都有极限,但原貫沒有极限 我們还可以有更复杂的例子 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5, 这一个贯有一个子貫以1为极限,也有子貫以2为极限,也有子貫以3为极限等等 定理1( Bolzano-weierstrass.在,有界的无点集中,定可以造世,个有极限的 子實 証。由假定可敌一切数都在a,b之間.适合子a≤x≤b的实数称之为区問(或 閉区間),以[a,b表之.我們把区間[a,b]平分,其中一定有一牛含有无穷个点,假定 包有无努个点的一华是[1,h,显然有 (b一a); 同法,把区間[a1,h1]分为二等分,則它的一华[a2,b]中亦有无个点;等等。第饣大 分出的区間[ab]照样包合有无穿多个点 这些区朋的每一个都包含在前一个中,并且第k个区間的长度 b (b-a) 随着k的增大而趋向于0,如此得出两个单調貫 b1≥b2≥b3≥ 它們都有极限.又由b一a→0可知,这两个极限相等,命之为a即 [b」中含有点集的无个元素我們任取其中一个,命之为at2则由手 及 lim,, 0, 所以知道 lima 定理巳經証明 这明中包括了一个很重要的原則,郎逐步分的原則,也称为 bolzano原則 現在我們来說明上节最后一句話,也就是証明 定理2(基本定理)·实数范围内仼,收斂貫,定收斂于,实数
缸.由假定給一任意的e>0,必有然数N存任,使当l:々>N时,常有 固定l,則对所有的k>N,出有 换之,在Ia-6,a+6]之間有无穷个点aA依 bolzano- Weierstrass定理可知,有 一子貫{an}使 lima.= c 現在仅須証明,an也趋向于C.我們可以选取充分大的n使 laA.-c< 又同时当n>N时 所以得到当n>N时 an-Cl≤|an-an+|x-cl≤20 这就是說, 倒1.貫xn=1+1+…+1有极 耠了6>0,当n 及l≥0时 1一2∠1 故x有极限 侧2.贯xn=1+1+…+也有极限 給了e>0当n>4≥0时,由于、4-1n 以 十1)2 1 故貫x有极限 定义.如果a适合以下的条件,則称为一实数集合的确上限:集合中的任意一个数 都不大于a,但对任意的e>0,集合中至少有一个数大于a一ε 类似地如果B适合以下的条件,就称为一个实数集合的硝下限:集合中任意一个数 都不小于β,但对任意的6>0,集合中至少有一个数小于β+6
侧1.貫1-1以1为确上限 侧2.1,-1,1,-1,1,-1,…以!为确上限, 侧3.1(n=1,2,……)也以1为确上限 侧4.自然数荑沒有确上限, 定理3.受限于上的实数集合,定有,个确上限 証.限于上的意义就是所有的数都不超过某一定数B,在集中任取一点a把【a,B] 分为二等分:((B+和[(+),图,如果后者包有原合的点我們就 命之为[a1,月];如果后者拌不包有原集合的点,我們把[a1,B1]表前一分区問.此 法獭行,得出[a2,B]3…[a,β],…我們可以知道 lim∝t=limB=C. 这个C就是确上限了,因为对任何,有a≤C≤B,且在区間[a2,B]内至少包有原 集合的一个点,而B之右再沒有原集合的点, 同法可新受限于下的实数集合一定有一确下限 §6.复数的定义和矢量 实数域对加减、乘、除自封,对极限手犢也自封.但彼旧有不完备的地方,就是速极 簡单的方程 x2+1=0 在实数汽围內都还沒有解,由于这样的客观情况,我們很自然地便要求进一步扩充数的 范围,引出新数,使既包有实数,又保留实数的基本运算定律 我們先来說明平面面角坐标系.在平面上取两根相交于一点0而且相互垂谊的直 餞,分別称它們为x軸与y軸,0又称为原点.使每根軸上的点都与实数一一对应起来 (如§3所示),原点对应于零.我們用下面的方向来确定x軸与y軸的正方向帥由x軸 的正向逆时針轉90°得y軸之正向 过平面任意一点P作两条直镘分別垂直于x軸与y軸.設垂足对应的二实数分別 是x1与y,于是P点便决定了一实数对(x1,y).反之,如果有一实数对(x1,y1),我們分 刖过x軸与y軸上的点a1与y1,作两条丹別垂直于x軸与y轴的直殺,这两条直钱相交 于一点P.因此笑数对与手面上的点成为一一对应,称(x1,y1)为点P的座标,其中 又称为核座标,y1为瓤座标,上逃座标系统叫做直角座标系航,也称为 Descartes座标 系統 x軸与y軸将平面分成四个象限,这四个象限中点的座标的符号为 复数(或称复虚数)a就是一个实数对(a,b),命B=(e,4)是另一复数,这两数 的加法定义为 12