分数是(1)式的解,那末 a2=2b2 右边是偶数,所以左边应当是偶数,故4是偶数.合a=2a,則得 2(4)2=b 这又說明b应当是偶数.这与a/b是既豹分数的假定相矛盾,因此(1)式沒有有理解,也 就是說√2不是有理数,虽然如此,直党上我們对√2#不是毫无所知,首先,我們知道 它是在1与2之閭,計算得村确些,知道它是在14与15之間,141与142之,1,14 与1415之問,换言之,√2可用 2,1.5,1.42,L4153…;an… 1,14,141,1414,bn; 来无限逼近,实际上,这样的过程也就定义了√2,因为 10 也就是√2与an(及bn)的飙差<1.n意大,娱差也就意接近于0换管之、√2 可以用{an}从右边接近它,也可以用{b}从左边接近它 如果仅仅是为了√2以及它对四則运算的完备性,我們可用如下的方法来解决問题 对所有的整数a,b,c形如 2 的数是对四則运算自的.但是我們的目的在于使无限接近成为完全可能,所以我们采 用其他的力法 §3.实数的描泷 現在我們描逃性地来說明实数 我們作一条直綾,取其上一点作为原点并取一个单位长,依单位长一段一段地往右 边接着量,便得出所有的自然数所对应的点。由0点向左量,便得出负整数(图2) 过0点作仼一(异于原直簃).在其上取B点使0B一b.運单位点A(郎0A的 长是单位长)与B,通过0B直耧上的单位点C作军行于AB的籍交0A于D,则0D=1 b (图3).如此可以在上表出所有的有理数 从0点作一45°的角,取单位长得A点。作0A的垂綏交原直耧于B.在x直钱上这 样作出的一段,它的长度是√2(图4)
图3 所以从几何来看,√2几乎是先验性地存在着的也可以把√2看作一点,它悬可以 用有理数点来无限接近的。說得形式化些,耠出一个任意小的正数,一定有一个有理数 使 r|<8 所有的实数都和√2一样是镜上的点;并且每一点出对应于一个实数,我們可以 用以下的方法来描逃一个实数∝:如果c所对应的点可以用有限位小数表达出来,那它是 有理数,这我們已經定义好了.現在假定a不能用有限位小数表达出来我們一定可以 选出一个整数an…1,使 am·:a1≤a<am…a1+1,0≤4≤9 (1) (这也称为 Archimedes公設)把区間(1)分成10份,a一定落在其中之一命 b1+0.1,0≤b≤ (2) 再把(2)分成10份,a又落在 am·a1b1b2<a<ama1b1b2+0.01,0≤b≤9 中。这样一步一步做下去,这手給出有一个无穿小数 它与实数a对应 我們就用这个表达方法来定义实数 正实数a是由无势小数表示出来的: 但是我們有个豹定:如果a是有限小数,我們把最石的一个数字减1,后面添上无个9, 例如,10499 不同的表示代表不同的实数 这样表示的几何意义是:a是这样的一个数,它是由am…a1,an…b1, am……a1b12,…等无限接近的 正实数可以比大小.先对准小数点,小数点前位数多的就大,如果位数相等,那末我 1) Archimedes公設是:耠了两个霾段a与b如巢a的长度此b的长度短,用a作为“尺”,量有限欠一定能超 b的长度
們就一个数字一个数字地从左往右比,首先出现較大数的便大,我們用a≤B来代表a 小于或等于B.这样的大小概念有以下三个性质: (i)任給两个正实数,我們能够利断那个大那个小 (i)如果a≤B,B≤a,即a=B; i)如果a≤B,月≤Y,則a≤γ 我們定义两个实数的加法,就是对准了小数点一位对一位地相加,但必須注意必要的 进位,說得更确切些,命这两个数各为 如果从某一位起,两个数的尾巴每一位对应的数字加起来都是9,郎有N当n>N时, b+b=9,那末a+B就是am…a、b1b2…b+ 1∴…b然后再添上无限 个9.不然我們一定有无限个自然数m1<n<n<…,使 bn .+ bn.F 9 作 取到m一1位小数,这就首定了a十β到小数第m-1位.一步一步做下去,我們 可以肯定a+B的任何一位数字 我們用定义逆运算的方法来定义法,說得更确切些,假定a>月.如果从某一位开 始,与β的尾巴完全相同,那就变为有限小数的减法,如果不是如此,一定有无限个自 然数 使 (v=1,2,3,…) 作 取到n-1位小数,这就肯定了a一B到小数第n-1位,一步一步做下击,我們就 肯定了a-B的任何一位数字.由减法可以引出負实数,极易看出(i)。(i),(ⅲ)对 所有的实数(不論正与負)都对, 对一实数a我們定义它的对值: 如果a≥0 如果a< 不难誑明我們有不等式 B≤|a+|B| 在此式中用β=Y-a代之,可得 lγ|≤|a|+|r-a 所以 7-叫l≥1y1-|al
§4.极限 极限这一个概念在中学里学习循环小数时巳稻介紹过了.我国古代早就有了这一概 念的萌芽.“一尺之槌,日取其华,万世不竭”就是极限的看法.这句話的意义是一尺长的 一根木棒第一天拿掉一牛,当然还留下1/2尺;第二天取留下的一芈,还留下原来的1/4; 82…第n天剩下了尺,当n大时,上虽小,但并不是0.这 第三天剩下1=1 就是万年不竭的道理,我們用符号 来代表这一事实.它的蕭法是:当n趋向无穷时,接近于0.数学中也常用以下的說 法:任意拾一个很小的正数c>0,一定可以选择一个自然数N使当n>N时常有 0<1 在现在这个情况中,N是可以其体算出的,它就是一个大于11/la2的自然数) 現在我們一般地来定义极限 定义,对于一个实数質(有时也称为叙列) a1,a2·";cn· 如果α是一个实数且有以下的性质,我們就称∝是以上数貫的极限,或称實an收斂于x: 任耠一个正数e>0,必有一个自然数N存在使当n>N时, 我們用符号 lima.= a 来代表 不难正明 im(an±Bn) ma t lim 1.数貫 03,033:0.33 以为其极限 2.数贯 09,0.39,0.339,0.3339 也以1为其极限 3.数贯 03,0.9。033,0.39,0.3330.339
也以1为其极限 供4如果q>1,则{1以0为极 例5.貫 十3 以为极限 給了>0.当m>时,|以+3-1|、6=1,<3< 2(2n2+1 任何一个实数a都有它的无穷小数表示法: 1·b la-a I bn+1 10*2+ ≤9+-9+… 十二十 101 10 轮了>0,我們取N=[∞x]+1(的数教部分),则得 故当n>N吋, _1 所以任何一个实数都可以看作是它的无穷小数取n位所得出的数的极限、由此显示出, 任何一个笑数可以表为一个有理数贯的极限,有理的数也称为无理数 由此也可看出,存在着以有理数为元素的贯,它的极限超出有理数域的范围(例如 √2所代表的无芳小数)于是就产生了下面的問题:如果以实数为元秦作贯,能否通过 取极限而得出实数以外的新数来,在下节中,我門将証明它不可能(見下节定理2).我 們先引进收斂貫的定义 定义.一个实数贯{a}如果适合以下条件就称为收斂贯或称 Cauchy贯:对任 正数s>0,有自然数L(=L(e),这表示L与有关)存在,使当l与饣都大于L时 a-ax< 如果一貫收斂于a23則这貫就是收斂貫.所根据的理由是 ≤|a2-a|+{at-a 如果将收敛贯的定义换为“对任一6>0,有一自然数N存在,使当n>N时, ian+ -anI < s, 此处l不超过某一常数c"3則{an}可能沒有极限,例如an= logp n.取N= 102-1