513.符号~,O与Q……………… 116 §14.連犢酬数 119 §15.間断种种· 121 516.連續数的一些基本性…… 122 §17. Heine- Borel定理 124 第五章微分…… 126 §1.微商概念…………………… 126 §2.微商的几何意义………………………………… 127 §3.函数的和、差、积、商的微商… §4.初等囪数的微商… 55.复合图数的微商 56.双曲数 134 §7.微商的公式表 ………136 58.例題………… 59,微分 §10.謬差的估計 §11.高阶微商… §12. Leibnitz公式 149 §13.高阶徼分 §14.数的差分… 15乎 第六章微商的应用… §1,曲镘的上升与下降………………………… ……156 §2,极大与极小…………………………………………158 §3, Fermat定理……… 54.中值公式 55.凸性、凹性与扭轉点 169 56.漸近錢…………………………………………… 173 §7,作图要点… ………176 §8.参变表示法的曲描图………………………… 59.切耧,法,子切諓,子法寝……………………………… 183 §10.积分公式 §11.隐圆数的微分…… 512.0型的不定式……… §13.型的不定式………… ……………………193
514.其他型的不定式……………196 第七章函数的 Taylor展开式…………… 199 51.多項式的 Taylor公式………………… …199 52,函数的 Taylor展开式…… §3. Taylor极数的余項 §4.e的展开式 ……………204 55.sinx与cosx的展开式 20 56.二項式展开式… 208 57.log(1+x)的展开式…… ……………211 58, arc tg x的展开式……………………………… 59.冪极数,收斂芈径… 215 510.冪极数的四則运算… 217 511.冪极数的微分与积分 512.冪极数的唯一性定琿及反囪数……… 513. Kummer判別法, Gauss半别法………… 514.超越几何級数……………… …223 §15.用冪极教解徽分方程………………… 229 第八掌方程的近似解………………… 235 51.引 §2.图解法………………………………………235 53.迭代法 236 §4.插值法 240 §5. Newton法……………… 2 §6.联合法……………………………………………… 244 57.賈宪法 245 §8.Jo6 a4eBCKH法 补充 §9.实数根的几个定理 250 §10. Sturm定理 第九章不定积分 §1.换变教法則………………………………… §2.分部积分法……………………………… 256 53.分項积分法…………………… 259 §4.有理分式的积分…… ……261 5.M.B. Oerpor panek方法 263
§6.某些含有根式的函数的积分…25 57.永积分x,ya+bx+ 58.Abel积分 …270 59.一些不能用已知图数表达的积分…………273 510.微分方程,分离变量法… 274 511.换变数法 276 §12.积分因子法 278 §13.一阶性方程… 282 §14.二阶性方程…… 286 515.常系数後性方程 …“·288 第十章定积分 291 51.求面积……… 291 §2.定积分的概念 中非甲 293 §3.可积函数的性质 296 §4.定积分的基本性風 297 §5.中值公式及积分基本定理… …300 §6.第二屮值公式… 302 §7.例子… 303 §8.换变数公式………… §9.分部积分 310 §10.瑕积分… §11.定积分的一些应用… 315 §12.求定积分的特殊方法 316 §13.面积原理的应用 321 §14. Euler求和公式及 Euler囡数… 515.梯形法矩形法与 Sirnpson法…328 引 337 索引…
第一章实数与复数 §1.有理数 数起源于“数”,一个一个地数,因而出現了 2,3,4,5,· 这叫做自然数 用自然数来数物件,看来簡单,但是却包含了一些数学中經常用到的基本原,例 如,一一对应的概念,先后女序的概念等等.特别值得注意的是,这是数学中第一个用抽 象符号来处理具体事物的例子.拿任何实物做标准(如手指,算珠)都有穷尽的可能,而 自然数系却可以說明一切可以数得完的客观事物的件数 但是,如果的要創造出无个符号来表达自然数,那不仅不方便而且也不可能.这 样就产生了計数法.这方法是用有限个数字来表达一切自然数.我們熟悉的是十进位的 表达法,即逢十选一的方法.左边的一算作右边一位的十,这样我們就有可能用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 来表达一切自然数了, 人类大都是用十进位,可能是因为人有十个指头.开始計数时是以指头做标准的 实度上符号用得最少的要算二进位,只要用0与1就可以表达出一切自然数来,二进位 就是逢二进一.用二进位表示自然数,可以依次写成为 1,10,11,100,101,110,111,1000, 书写时二进位較长,例如,二进位的四位数字1000仅代表十进位的8.一般誹来一个数 字用二进位的位数是用十进位的位数的三倍以上(豹33倍) 这里我們只提一下自然数的两个基本的重要性质 1)如果有一批自然数都不大于一个給定的自然数,那末其中一定有一个最大的,术 語:在有上界的自然数集合中一定有一个最大的 个有上界的自然数集合不能和它的子集合建立起一一对应的关系”这句 术語誹得似乎有些玄虚,实质上就是n个物件不能和少于n个物件成立一一对应的关系 这样簡单的转果为什么还值得一提呢?因为这是有限集合的基本性厲,任何一个非有限 集合都有可能和它的子集合一一对应,例如,自然数的集合便可以和稿自然数的集合建 立起一一对应来: 仅有自然数,还远远不能满足我們的需要.我們有时需要分,但分不尽怎么办?因而
产生了分数2,称为有理数,就是b个人分a件东西,每个人应得的正确答案 小数只不过是有固定分母的分数的另一种表达形式,它的分母只允許是10;102 103,…等等。例如 0314 因为分母是殊的,所以我們并不能把任何分数都表为有限小数.例如, 上=0.33 就是一个无穷小数,但是我們知道,有理数的小数表达是有特殊形式的,就是所謂循环小 数。我們也知道,凡是循环小数都能表成有理数,需要注意的是循环小数 0999 实质上代表1 仅有有理数,还是不能满足我們客观上的需要.我們有时要减,但不够減怎么办?很 自然地就产生了負数 到了这样的阶段,我們巳得到了正、負有理数.这些数作为一个整体来耕已竊达到 了某种意义的完备性,这种数的全体称为有理数域,用一句行話来說,有理数域对四則运 算自封;通俗一些說,任意二有理数的和、差、积商(除数午0)仍然是有理数 一般誹有理数是指所有的正、負有理数而整数是指0,土1,土2,±3,…,正整数 就是自然数12,3, 任何两个有理数之有无个有理数存在,要脏明这点,先証明两个有理数之問一 定有一个有理数存在,若<,則显然有 钙然两个中图有一个,那末,b+b中間又至少有一个,等等,这种做法可以无限制 地溎續下去所以就誑明了以上所說的話 §2.无理数的存在 上节中我們巳經說明了在某种意义下有理数域有七的完备性,但是换一个角度来看, 便又显示出它的不完备之处,例如,最簡单的二次方程 x3=2 就沒有有理数解.从几何方面說,速极筒单的几何图形的长度都无法 用有理数表达出来.边是单位长的正方形的对角餞的长度√2就不 是有理数 图1 何以見得方程(1)沒有有理解?我們用反部法.如果有一个既豹