3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 由假设知，( (x)在[x,x+]上有定义，连续且 l1(x)-≤lf(5,p(5)M5≤M(x-x,)≤b 即命题2当=k+1时也成立。由数学归纳法知，命题2对所 有的n成立。 注： 数学分析中讲过，函数项级数∑山，(x)的收敛性可以通过它的部分 和所构成的函数列{Sn(x)}来讨论。另一方面，函数列{S()》}的收敛性 也可转化为级数之u.(x)来讨论 若对充分大的n,有实数an Vε>0,3N(8>0,n>N 使得(x)≤an成立，并且 三pn()-p(x)<& ∑a收敛，则∑.(x)一致收敛 结束 返下而< 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 由假设知， k+1 ( ) x 在 x x h 0 0 , + 上有定义，连续且 即命题2 当 n=k+1 时也成立。由数学归纳法知，命题2 对所 有的 n 成立。 和所构成的函数列 来讨论。另一方面，函数列 的收敛性 数学分析中讲过，函数项级数 的收敛性可以通过它的部分 = 1 ( ) n n n u x S x n ( ) 也可转化为级数 来讨论. = 1 ( ) n n n u x S x n ( ) 注: §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 k+1 0 ( ) x y − − M x x ( 0 ) b 0 ( , ( )) x k x f d 若对充分大的n, 有实数 使得 成立，并且 收敛, 则 一致收敛. an u x a n n ( ) = 1 n n a = 1 ( ) n n u x − 0, 0, ( ) ( ) n N n N x x （ ）
S3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 命题3.函数序列{9(x)在x≤x≤x。+h上是一致收敛的。 证：考虑级数 ,(x)+∑[p(x)-9(x]x∈[，x+ (2.9) k= 借助于(2.9)的一致收敛性，证明0，(x)}一致收敛。(2.9)的部分 和（前n+1项的和)是： 0(x)+[9-pl+[92-91l+.+[pn-pn-l=0n(x) 所以，如果能证明(29)一致收敛，则可得到{p(x)}的一 致收敛性。为此，我们证明(2.9)一致收敛。 所以我们对(2.9)的一般项进行如下估计： a()-a(e)≤f(5,g(传)训dE≤M(x-x) o,()-(∫f(5,9(5)-f(5,0(训a5≤Lo()-p,(传)5 ≤LM(5-xE=LMc- 2! 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 借助于（2.9）的一致收敛性，证明 一致收敛。(2.9）的部分 和（前n+1项的和）是： n ( ) x − + − + − + + − = 0 1 0 2 1 1 ( ) [ ] [ ] . [ ] ( ) n n n x x 所以，如果能证明（2.9）一致收敛，则可得到 的一 致收敛性。为此，我们证明（2.9）一致收敛。 n ( ) x ( ) − = 0 1 0 0 + − + 1 ( ) ( ) ( ) , 2.9 k k k x x x x x x h 证: 考虑级数 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 命题3. 函数序列 n ( ) x 在 x x x h 0 0 + 上是一致收敛的。 所以我们对（2.9）的一般项进行如下估计： 1 0 ( ) ( ) x x − ( ) 0 0 , ( ) x x f d 0 − M x x ( ) 2 1 ( ) ( ) x x − − ( ) ( ) 0 1 0 , ( ) , ( ) x x f f x d − 0 1 0 ( ) ( ) x x L d − ( ) 0 0 x x LM x d − = 2 0 ( ) 2! x x LM
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 设对于正整数m,有0，()-1(xsM(x-七)” 成立。 n! 则对正整数n+1,有 lp.1-9(x≤f(5,0n(5)-f(5,0-(5)M5 swe3w:(E-西-EP (n+)! 由数学归纳法知，对于所有的正整数K,有 .c (2.11) 所以，当x,≤x≤时5h lPx(x)-pk-1(x)≤ L-Mhk (2.12) k! (2.12)的右端 L-MhE 正项级数 k! L k:的一般项，它 是收敛的。 k-1 h →0，(k-→∞) (k+1) k! k+1 结束 返▣下一贡 首而
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 − − − − 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ! n n n n L M x x x x n 设对于正整数n，有 成立。 §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 则对正整数n+1,有 + − − − ( ) ( ) 0 1 1 ( ) , ( ) , ( ) x n n n n x x f f d ( ) + − − − − = + 0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! n n n n x x n n x x L M L M x x L x d x d n n 由数学归纳法知，对于所有的正整数K，有 − − − + − 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , (2.11) ! k k k k L M x x x x x x x h k 所以，当 + 时, 0 0 x x x h − − − 1 1 ( ) ( ) (2.12) ! k k k k L Mh x x k −1 ! k k L Mh k − = 1 1 ! k k k h ML k (2.12) 的右端 是正项级数 的一般项，它 是收敛的。 + − = → → + + 1 1 ( 0,( )) ( 1)! ! 1 k k k k h h h L L L k k k k