现让Dx®0，由上式便得A的一个极限表示式 4=lim D3=1imfx+Dc,)-fa）.(⑤) Dx®0D Dx®0 Dx 容易看出，（⑤）式右边的极限正是关于x的一元函数 f(x,yo)在x=七处的导数 类似地，在(4)式中令Dx=0(Dy10),又可得到 B=lim D, =1imfm+D)fn）,6) DyR0 Dy Dy®0 Dy 它是关于y的一元函数f(x,y)在y=y处的导数， 二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自 前门
前页 后页 返回 (5) 容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数 类似地, 又可得到 (6) 它是关于 y 的一元函数 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自
变量的导数称为该函数的偏导数，一般定义如下： 定义2设函数z=f(x,y),(x,y)iD,且f(x,Jy)在 x的某邻域内有定义.则当极限 lim D3=lim f,+Dc,)-fnn） (7) Dx®OD Dx®0 Dx 存在时，称此极限为∫在点(x,y)关于x的偏导数， 记作 f(),或 f z x (x0) Ix
前页 后页 返回 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下: 则当极限 存在时, 称此极限为 关于x 的偏导数, 记作 定义 2 (7)
类似地可定义f在点(x,)关于y的偏导数： D, lim Dy®0Dy m ay) Dy®O Dy 记作 f(x),或 f z y (00) y (x0,J0) 注1这里 1,1 是专用于偏导数的符号，与一元 Ix y 函数的导数符号d相仿，但又有区别。 dx 前页页
前页 后页 返回 类似地可定义 关于 y 的偏导数: 记作 注1
注2在上迷定义中，∫在点（心，y)存在对x(或y) 的偏导数，此时f至少在 (x,y)y=yox-xokd (或{(x,y)川x=x,ly-<d})上必须有定义. 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数. 若函散？=f(x,y)在区域D上年一点(x,y)都存在 对X(或对y)的偏导数，则得到？=f(x,y)在D上 对x(或对y)的偏导函数（也简称偏导数），记作 前页
前页 后页 返回 注2 在上述定义中, 存在对 x (或 y) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数． 若函数 在区域 D 上每一点 都存在 对 x (或对y)的偏导数, 则得到 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
才（比，）或fx,)E x或f四6 y 0 也可简地写作3，或，或 1r6 Iy e 偏导散的几何意义：？=f(x,y)的几何图象通常是 三雅空向中的曲面，设P(x0,y0,0)为此曲面业一 点，其中=f(0,o).过点P作平面y=y0,它与 曲面相交得一曲线： C:y=y0,?=f(x,y). 前过
前页 后页 返回 偏导数的几何意义: 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 为此曲面上一 点, 其中 曲面相交得一曲线：