设L,eV*(i=1,2,,n）是在点a,的取值函数：L,(p(x) = p(a,), p(x)eV.i =1,2, --,n.则线性函数L满足(1,i=j;L,(P,(x)= P,(a,)=i, j=1,2,,n.0,i+j,因此，L,Lz,"",L,是p,(x),p2(x),",p,(x)的对偶基下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系设V是数域P上一个n维线性空间.s62…及n,n2n是的两组基.它们的对偶基分别是fi,J2,J.及g1,g2,"",g..再设(1,n2,*.,n)=(c),62,,8n)A(gi,g2,".gn)=(fi,J2,..,J.)B其中(ail(b bi2.. bn)aj2..ainbaib22bam.a21a22a2nB =A=....::：:(balb2..bm)(anlan2am..由假设n,=ag+a,+...+amen,i=1,2,ng,=b,fi+b2,Jz+...+bmf.,j=1,2,..,n因此g,(n,)=-Zbyf:(a,6 +aa,6, ++ame.)-=by,au,+b?,a2,+.+byam{,=j i, j=1,2,.,n0o,i+j由矩阵乘法定义，即得B'A=E
设 L V (i 1, 2, ,n) i = 是在点 i a 的取值函数： L ( p(x)) p(a ), p(x) V .i 1,2, ,n. i = i = 则线性函数 Li 满足 , , 1,2, , . 0 , , 1, ; ( ( )) ( ) i j n i j i j Li p j x p j ai = = = = 因此， L L Ln , , , 1 2 是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 的对偶基. 下面讨论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是 V 的两 组基.它们的对偶基分别是 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .再设 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )A (g1 , g2 , , gn ) = ( f 1 , f 2 , , f n )B 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , = n n nn n n b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 由假设 i = a1i 1 + a2i 2 ++ ani n , i =1 , 2 , ,n , gi = b1 j f 1 + b2 j f 2 ++ bnj f n , j = 1, 2, ,n . 因此 i j n i j i j b a b a b a g b f a a a j i j i nj ni i i ni n n k j i kj k , 1 , 2 , , 0 , , 1 , ; ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 = = = = + + + = + + + = 由矩阵乘法定义，即得 BA = E
即B' = A-I定理3设8162",8,及n,2,n,是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为fi2及gg2，g.如果由1,2到n2,n的过渡矩阵为A，那么由i,J2…,f,到gi,828，的过渡矩阵为(4')"设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间，取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x*如下：x"(f)=f(x),feV.根据线性函数的定义，容易检验x*是V上的一个线性函数，因此是V的对偶空间（V*）=V*中的一个元素定理4V是一个线性空间，V*是V的对偶空间的对偶空间.V到V*的映射X→x"是一个同构映射这个定理说明，线性空间V也可看成V*的线性函数空间，V与V*实际上是互为线性函数空间的这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的
即 −1 B = A 定理 3 设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基，它们的对 偶基分别为 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .如果由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的 过渡矩阵为 A ，那么由 n f , f , , f 1 2 到 g g gn , , , 1 2 的过渡矩阵为 1 ( ) − A . 设 V 是 P 上一个线性空间， V 是其对偶空间，取定 V 中一个向量 x ，定 义 V 的一个函数 x 如下： x ( f ) = f (x), f V . 根据线性函数的定义，容易检验 x 是 V 上的一个线性函数，因此是 V 的 对偶空间 (V ) = V 中的一个元素. 定理 4 V 是一个线性空间， V 是 V 的对偶空间的对偶空间. V 到 V 的映射 → x x 是一个同构映射. 这个定理说明，线性空间 V 也可看成 V 的线性函数空间， V 与 V 实际 上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性 空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代 数中是很重要的