Fresnel积分Dirichlet积分Laplace积分$13.4含参变量积分的应用几个重要的广义积分13.4.1+8sin&1°Dirichlet积分dc.a0由Dirichlet判别法可知这个积分收敛，但不绝对收敛.引进收敛因子e一ur并考虑含参变量的积分+8sin a-urI(u) :dc.e&2由于当 u≥ 0时,此积分是一致收敛的.而被积函数在区域[0,+)×[0,+8)上连续,因而I(u)就在[0,+o）上连续.特别在点 u=0连续,可推得sin alim I(u) = I(0) =dru-70+a返回全屏关闭退出II1/15
Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© §13.4 ¹ëCþÈ©A^ 13.4.1 A2ÂÈ© 1 ◦ Dirichlet È© Z +∞ 0 sin x x dx. d Dirichlet O{ùÈ©Âñ, ØýéÂñ. Ú?ÂñÏf e −ux , ¿Ä¹ëCþÈ© I(u) = Z +∞ 0 e −ux sin x x dx. du u > 0, dÈ©´Âñ. ȼê3« [0, +∞)×[0, +∞) þëY, Ï I(u) Ò3 [0, +∞) þëY. AO3: u = 0 ëY, í lim u→0+ I(u) = I(0) = Z +∞ 0 sin x x dx. 1/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Laplace积分Fresnel积分Dirichlet积分另一方面，将I(u)微商又得ur sin da,I'(u)O0其中在积分号下对 u微商的合理性是因为 u≥uo >o 时,积分+8e-u sin dacJo是一致收敛的.由分部积分法+8+8ua cos dcI'(u) = e-u cos c+ue0Jo+8+8e-u sin da=-1+usin&+u00= -1 -uI'(u),从而得到1I'(u)1+u2I返回全屏关闭退出2/15
Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ,¡, ò I(u) ûq I 0 (u) = − Z +∞ 0 e −ux sin xdx, Ù¥3È©Òeé u ûÜn5´Ï u > u0 > 0 , È© Z +∞ 0 e −ux sin xdx ´Âñ. d©ÜÈ©{ I 0 (u) = e −ux cos x +∞ 0 + u Z +∞ 0 e −ux cos x dx = −1 + u e −ux sin x +∞ 0 + u Z +∞ 0 e −ux sin x dx = −1 − u 2 I 0 (u), l I 0 (u) = − 1 1 + u2 , 2/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Laplace积分Fresnel积分Dirichlet积分两边积分求得I(u) = -arctan u + c,当u>o时,我们有sin&uae-urdc[(u)| =1aeua1可知当u→+oo时I(u)→0,由此定出常数c=.故有元I(u)(u > 0).arctan u,2令u趋于零即得fαsin&元d =I(0)2cJo注比较级数Xsinn元>2nn=1返回全屏关闭退出II3/15
Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© ü>È©¦ I(u) = − arctan u + c, u > 0 , ·k |I(u)| = Z +∞ 0 e −ux sin x x dx 6 Z +∞ 0 e −uxdx = 1 u , u → +∞ I(u) → 0, dd½Ñ~ê c = π 2 . k I(u) = π 2 − arctan u, (u > 0). - u ªu"= Z +∞ 0 sin x x dx = I(0) = π 2 . 5 '?ê X ∞ n=1 sin n n = π − 1 2 . 3/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Fresnel积分Dirichlet积分Laplace积分2°Laplace 积分-XcosβaI(β)(α > 0, β ≥ 0);daα? + α20-8 sin BcJ(β) =(α > 0, β > 0).daα? + ?因为对任意的 β ≥ 0 和 α > 0, 有1I cos βalQ2 + 2α2 + α2故 I(β) 在 β E[0, +8) 上一致收敛另外, 由 Dirichlet 判别法知, J(β) 对任意的 β ≥ βo > 0 一致收敛. 显然I(β)与 J(β)都在 β ≥ β。> 0 上一致收敛. 由积分号下求导的可微性定理知，Iβ）对β的微商可在积分号下进行，并有0cosβa sin BaI'(β) =d =dc = -J(β).ap(2+2α2 + ?101II-返回全屏关闭退出4/15
Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© 2 ◦ Laplace È© I(β) = Z +∞ 0 cos βx α2 + x2 dx (α > 0, β > 0), J(β) = Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx (α > 0, β > 0). Ïé?¿ β > 0 Ú α > 0, k | cos βx| α2 + x2 6 1 α2 + x2 , I(β) 3 β ∈ [0, +∞) þÂñ. , , d Dirichlet O{, J(β) é?¿ β > β0 > 0 Âñ. w, I(β) J(β) Ñ3 β > β0 > 0 þÂñ. dÈ©Òe¦5½n , I(β) é β û3È©Òe?1, ¿k I 0 (β) = Z +∞ 0 ∂ ∂β cos βx α2 + x2 dx = − Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx = −J(β). 4/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dirichlet积分Laplace积分Fresnel积分当β>0时,有fαsinβac元da2aJo于是有fX&sinBa元34I'(β) +dc+da2α2 + 2aJoJo+8sinβa= Q2dc(α2 + α2)Jo上式又可对β在积分号下求微商，于是又有+8cosβaI"(β) = α2da=α"I(β)α2 + α2Jo这是一个二阶常系数线性微分方程，求得通解为I(β) = Ceaβ + Ce-ap,返回全屏关闭退出二P5/15
Dirichlet È© Laplace È© Fresnel È© β > 0 , k π 2 = Z +∞ 0 sin βx x dx, u´k I 0 (β) + π 2 = − Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx + Z +∞ 0 sin βx x dx = α 2 Z +∞ 0 sin βx x(α2 + x2) dx, þªqé β 3È©Òe¦û, u´qk I 00(β) = α 2 Z +∞ 0 cos βx α2 + x2 dx = α 2 I(β), ù´ ~Xê5©§, ¦Ï) I(β) = c1e αβ + c2e −αβ , 5/15 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ