加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式13.4.2T函数B函数及其性质定义1含参变量的积分tr-le-tdt,r(c) =所定义的一个关于 的函数,称为 T 函数(Gamma 函数)通过含参变量&,y的积分B(c,y) =tr-1(1 - t)y-1dt,所定义的一个关于α,y的二元函数,称为B函数(Beta函数)因为这两个函数是由Euler在求解偏微分方程时引入的，所以又被称为Euler函数或Euler积分，返回全屏关闭退出1/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª 13.4.2 Γ ¼ê B ¼ê9Ù5 ½Â 1 ¹ëCþ x È© Γ(x) = Z +∞ 0 t x−1e −tdt, ¤½Â'u x ¼ê, ¡ Γ ¼ê (Gamma ¼ê). ÏL¹ëCþ x, y È© B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt, ¤½Â'u x, y ¼ê, ¡ B ¼ê (Beta ¼ê). Ïùü¼ê´d Euler 3¦) ©§Ú\, ¤±q¡ Euler ¼ê½ Euler È©. 1/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Weierstrass公式定理1 T(α)的定义域是(0，+),而且是(0，+）上连续函数证明把积分分成两部分te-1-tdtr(α) = tt-dt+对任意的β>α>0,当α≤≤β,时有ta-le-t ≤tα-le-t,0< t ≤1;tr-le-t ≤ tB-le-t, 1≤ t < +o.因积分ta-le-tdt和积分+otβ-le-tdt都收敛，故由Weierstrass判别法知,积分t-le-tdt 和积分f+ta-le-tdt在[α,β]上不但收敛,而且一致收敛.故r(α)在[α,β]上有定义,而且连续由于 β>α是任意的两个正数,所以I(α)在(0,+)有定义而且连续I-I返回全屏关闭退出2/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 1 Γ(x) ½Â´ (0, +∞), ´ (0, +∞) þëY¼ê. y² rÈ©©¤üÜ©, Γ(x) = Z 1 0 t x−1e −tdt + Z +∞ 1 t x−1e −tdt. é?¿ β > α > 0, α 6 x 6 β, k t x−1e −t 6 t α−1e −t , 0 < t 6 1; t x−1e −t 6 t β−1e −t , 1 6 t < +∞. ÏÈ© R 1 0 t α−1e −tdt ÚÈ© R +∞ 1 t β−1e −tdt ÑÂñ, d Weierstrass O{, È© R 1 0 t x−1e −tdt ÚÈ© R +∞ 1 t x−1e −tdt 3 [α, β] þØÂñ, Âñ. Γ(x) 3 [α, β] þk½Â, ëY. du β > α ´?¿üê, ¤± Γ(x) 3 (0, +∞) k½Â ëY. 2/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式定理2T函数有任意阶导数证明设&E[α,β].我们需要观察被积函数对α求k次导数后的积分+ta-1e-t(lnt)^dt =tr-le-t(lnt)*dt +tr-le-t(lnt)*dt.00利用定理1中同样的方法，有[ta-1e-(ln t) < (-1)"(ln t)*t E (0, 1),t1-αtr-le-t(lnt)k ≤ tβ-le-t(lnt)kt E [1, +oo).上面两个不等式的右边都是可积的，因为当t→0+时，(lnt)趋于无穷的速度,比任何t,>0慢.而当 t→+o时,ta-1(lnt)趋于无穷的速度,远比不上et.所以可以证明上述积分在[α,β]上是一致收敛的，故定理成立，且r(k)(c) =tr-le-t(lnt)*dt.返回全屏关闭退出I3/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 2 Γ ¼êk?¿ ê. y² x ∈ [α, β]. ·I* ȼêé x ¦ k gêÈ© Z +∞ 0 t x−1e −t (ln t) kdt = Z 1 0 t x−1e −t (ln t) kdt + Z +∞ 1 t x−1e −t (ln t) kdt. |^½n 1 ¥Ó{, k |t x−1e −t (ln t) k | 6 (−1)k (ln t) k t 1−α t ∈ (0, 1], t x−1e −t (ln t) k 6 t β−1e −t (ln t) k t ∈ [1, +∞). þ¡üØ ªm>Ñ´È, Ï t → 0 + , (ln t) k ªuá Ý, '?Û t γ , γ > 0 ú. t → +∞ , t x−1 (ln t) k ªuáÝ, ' Øþ e t . ¤±±y²þãÈ©3 [α, β] þ´Âñ, ½n¤á, Γ (k) (x) = Z +∞ 0 t x−1e −t (ln t) kdt. 3/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式定理3(函数递推公式）(+1)=(),>0证明由分部积分法得+8t'e-tdt = -t'e-tdtr(αc + 1) =+Jo100= ar(α).重复应用上面的递推公式便得(α +1) = a(α - 1) .. (c - n+1)r(α - n + 1), n - 1 < ≤ n.在上式中,因为 0 < 一n +1≤1, 所以对 >1 的 r 函数值的计算总可以归结为计算0<<1的r函数值特别当=n（n为自然数）时就有r(n + 1) = n(n - 1) .. 1 . r(1) = n!,这是因为 r(1) = J+e-tdt = 1.返回全屏关闭退出I4/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 3 (Γ ¼ê4íúª) Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0. y² d©ÜÈ©{ Γ(x + 1) = Z +∞ 0 t xe −tdt = −t xe −t +∞ 0 + x Z +∞ 0 t x−1e −tdt = xΓ(x). EA^þ¡4íúªB Γ(x + 1) = x(x − 1)· · ·(x − n + 1)Γ(x − n + 1), n − 1 < x 6 n. 3þª¥, Ï 0 < x − n + 1 6 1, ¤±é x > 1 Γ ¼êOo± 8(O 0 < x < 1 Γ ¼ê. AO x = n (n g,ê) Òk Γ(n + 1) = n(n − 1)· · · 1 · Γ(1) = n!, ù´Ï Γ(1) = R +∞ 0 e −tdt = 1. 4/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B函数等价定义Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理Weierstrass公式B函数与T函数此外，I（）的值亦可定出.这只须在积分t-ze-tdt中作变量代换t=2即得到1e-""da = V元.C 2(2)Jo由此又可定出当为半整数n+的函数的值1131...=r·21nn+n-22222(2n - 1)!!V元.2n返回全屏关闭退出-5/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª d , Γ 1 2 ½½Ñ. ùL3È© Γ 1 2 = Z +∞ 0 t −1 2e −tdt ¥Cþ t = x 2 = Γ 1 2 = 2 Z +∞ 0 e −x 2 dx = √ π. ddq½Ñ x ê n + 1 2 Γ ¼ê Γ n + 1 2 = n − 1 2 n − 3 2 · · · 1 2 Γ 1 2 = (2n − 1)!! 2 n √ π. 5/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ