北京交通大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 向量空间 4.6 非齐次线性方程组

注意(1)解非齐次方程组的关键是: 求对应的齐次方程组的基础解析。 (2)若Ax=0只有零解,则Ax=b只有唯一解 A(3)若Ax=b对应的Ax=0有无穷多组解, 上则4x=b有无穷多组解。 反回

求对应的齐次方程组的 基础解析。 注意：(1)解非齐次方程组的关键 是： (2)若Ax  0只有零解，则Ax  b只有唯一解 则 有无穷多组解。 若 对应的 有无穷多组解， Ax b Ax b Ax  (3)   0

与方程组Ax=b有解等价的命题 线性方程组Ax=b有解 向量b能由向量组a1,a2,…,an线性表示; 向量组a1,a2,…,an与向量组a1,a2,…an,b等价; 矩阵A=(a1,a2,…,an与矩阵B=(an1a2,…,an,b) 的秩相等 反回

与方程组 A x  b有解等价的命题 , , , ; 向量b能由向量组  1  2   n线性表示  , , , , , , , ; 向量组1  2   n与向量组1  2   n b等价      . , , , , , , , 1 2 1 2 的秩相等 矩阵A 与矩阵B b      n      n  线性方程组 A x  b有解

x1-x2-x3+x4= 0, 上例1求解方程组{x1-x2+x3-3x;=1 x1-x2-2x3+3x4=-1/2 解对增广矩阵B施行初等行变换 1-1-11 0 B=1-11一 1-2 1/4 1-10 l/2 ~001 33120 1/2 000 反回

例1 求解方程组                   2 3 1 2. 3 1, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B施行初等行变换 :               1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 B , 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~         

可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解,并有 x1=x2+x4+1/2, x3=2x4+1/2 取x2=x4=0,则x1=x3=,即得方程组的一个解 2 0 1/2 0 在对应的齐次线性方程组x2+x中取 3 2 X4 反回

可见R(A)  R(B)  2,故方程组有解,并有         2 1 2. 1 2, 3 4 1 2 4 x x x x x 0, 取 x2  x4  , 2 1 则 x1  x3  即得方程组的一个解 . 0 1 2 0 1 2          在对应的齐次线性方程 组 中,取 2 , 3 4 1 2 4       x x x x x