幂级数 。比值法证明： ·[证考察级数∑1c,”1 由正项级数审敛法则可知，当 =lim ==p<1 级数的 n-→ ⑩级数收敛”▣ 收敛半径为 D即☑<1/λ时，级数收敛且绝对收敛 R=) ·当z心1/λ时，级数发散 口 D反证。假设在-1/λ外有一点z使级数收敛，在圆外另取一 点z1,使得allzol,根据Abl定理，级数∑lcn‖z"|必收敛； Φ又因为PVx,所以mc=p>1 D即∑1c川”1发散，与已知矛盾， 因此当心1/x时级数发散 lexu@mail.xidian.edu.cn ● 复变函数 6
lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数 v比值法证明： § [证]考察级数 § 由正项级数审敛法则可知，当 •级数收敛 •即|z|<1/ λ时，级数收敛且绝对收敛 § 当|z|>1/ λ时，级数发散 •反证。假设在|z|=1/ λ外有一点z0使级数收敛，在圆外另取一 点z1，使得|z1|<|z0|，根据Abel定理，级数 必收敛； •又因为|z1|> 1/ λ，所以 •即 发散，与已知矛盾，因此当|z|>1/ λ时级数发散 0 | | n n n c z 1 1 1 | | lim lim 1 | | n n n n n n n n c z c z z c z c 1 0 | || | n n n c z 1 1 1 1 1 | | lim 1 | | n n n n n c z z c z 1 0 | || | n n n c z 级数的 收敛半径为 1 R 6
幂级数 冬根值法证明： ·[证]考察级数c ·由正项级数审敛法则可知，当 limc,="|=limc,==p<1 级数的 n->o0 ⑩级数收敛一 收敛半径为 D即☑<1/λ时，级数收敛且绝对收敛 R-1 ·当z小1/入时，级数发散 ⑩反证。假设在☑=1/λ外有一点z使级数收敛，在圆外另取一 点z,使得z<zo,根据Abel定理，级数∑Icn‖”|必收敛； = o又因为zP1/x,所以limc"|=lim==p>l 即∑c‖”|发散，与已知矛盾，因此当z小1/入时级数发散 lexu@mail.xidian.edu.cn ●0● 复变函数
lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数 v根值法证明： § [证]考察级数 § 由正项级数审敛法则可知，当 •级数收敛 •即|z|<1/ λ时，级数收敛且绝对收敛 § 当|z|>1/ λ时，级数发散 •反证。假设在|z|=1/ λ外有一点z0使级数收敛，在圆外另取一 点z1，使得|z1|<|z0|，根据Abel定理，级数 必收敛； •又因为|z1|> 1/ λ，所以 •即 发散，与已知矛盾，因此当|z|>1/ λ时级数发散 0 | | n n n c z lim | | lim | | 1 n n n n n n n c z c z z 1 0 | || | n n n c z 1 1 1 lim | | lim | | 1 n n n n n n n c z c z z 1 0 | || | n n n c z 级数的 收敛半径为 1 R 7
幂级数 例1求级数 的收敛半径，并讨论收敛圆上级 数的敛散性。 ·[解]显然cn=3 ·<比值法>=lim =lim lim n-→0 n-→(n+1)3 n→0 (1+-) Inn lim(-3)=0 7>o0 n 3 。<根植法>u=limc=lim√n3=lime =1 1→c0 ■收敛半径R=1 ·在收敛圆上，上 收敛 11 ·即级数在收敛圆上绝对收敛 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 8
lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数 v例1 求级数 的收敛半径，并讨论收敛圆上级 数的敛散性。 § [解]显然 cn=n-3 § <比值法> § <根植法> § 收敛半径R=1 § 在收敛圆上，|z|=1， 收敛 § 即级数在收敛圆上绝对收敛 3 1 n n z n 3 1 3 3 1 lim lim lim 1 ( 1) 1 (1 ) n n n n n c n c n n 3 ln 3 lim lim lim n n n n n n n n c n e ln lim( 3 ) 0 n n n 1 3 3 1 1 1 1 n n n z z n n 8
幂级数的运算和性质 复变幂级数的运算 ·代数运算性质： D设有两个幂级数，其特性如下 fa)=∑a,2”,R=r n=0 R=min(,) g(e)=∑b,2”,R=5 g则幂级数在z<R的圆内进行代数运算所得幂级 数的和函数分别是fz)、(z)的代数运算结果 fe)±ge)=∑a,"±∑，”=∑(a,±6，) =0 lexu@mail.xidian.e e)ge)=∑a,6,-2b
lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数的运算和性质 v复变幂级数的运算 § 代数运算性质： •设有两个幂级数，其特性如下 –则幂级数在|z|<R的圆内进行代数运算所得幂级 数的和函数分别是f(z)、g(z)的代数运算结果 1 0 2 0 ( ) , ( ) , n n n n n n f z a z R r g z b z R r R r r min( , ) 1 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n k n k n n n k f z g z a z b z a b z f z g z a z b z a b z 9
幂级数的运算和性质 Note::两幂级数经过代数运算得到的新幂级数收敛 半径为R,但它们只能在<R内有以上的代数 运算性质 ·复合运算性质： ®若当1Kr时，fG)=∑a,s n=0 o当lz<R时，g(z解析且满足g(z<r,则当z<R时 fg(-)-a.Ix( lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 10
lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数的运算和性质 •Note：两幂级数经过代数运算得到的新幂级数收敛 半径为R，但它们只能在|z|<R内有以上的代数 运算性质 § 复合运算性质： •若当|ζ|<r时， •当|z|<R时，g(z)解析且满足|g(z)|<r，则当|z|<R时 0 ( ) n n n f a 0 [ ( )] [ ( )]n n n f g z a g z 10