湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 向量代数与空间解析几何（1.5-1.6）多元复合函数的导数、隐函数的导数

匚高等数学 2°,公式1°可推广到中间变量多于2个的情形 s iz=f(u,v, w),u=ux,y),v=v, y),w=w(x,D) az az au d ax ou ax av ox/ Ow ox a2 acU o=ay oz ow dy du dy Ov dy Ow oy 3°若在20中,=(xy,v=v(xyD,=v(x z y,D).向=? ? 二?

2 , 公式 1可推广到中间变量多于2个的情形. 如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y), 则 x w w z x v v z x u u z x z     +     +     =   y w w z y v v z y u u z y z     +     +     =   3 若在 2中,u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), w = w(x, y, t). 问 ? ? = ?   =   =   t z y z x z

匚高等数学 例2.设=5my,=xy=x2 解:(1)可将v,代入后直接求偏导 (2)链式法则(两个中间变量) coS·"·n1 ou=y, z cOSv·v -1 ax

例2. sin , , , , . y z x z z v u x y v x y u     设 = = = + 求 解: (1)可将u, v代入后直接求偏导. (2)用链式法则 (两个中间变量) cos v v ln v, u z u u =     y, x u =   cos , −1 =    u u v uv v z =1.   x u

匚高等数学 az 故 2 bIn y cos v·y+ uv 1 y(x+y)"hn(x+ y)cos(x +y +xyxty) cos(x+y x(x+y)"In(x+y)cos(x+ y)y oy +xyl+ y) cos(x +y)

故 =   x z u u u u v ln v cos v y uv cosv −1  + xy xy xy xy x y x y x y y x y x y x y ( ) cos( ) ( ) ln( )cos( ) 1 + + + = + + + − =   y z xy xy xy xy x y x y x y x x y x y x y ( ) cos( ) ( ) ln( )cos( ) 1 + + + + + + −

匚高等数学 例3设=/(x2-y2,x)其中厂∈c,求, 解:此例与上两例有区别这里函数f的表达 式未给出,只能用链式法则求偏导 引进中间变量(引进几个中间变量?) 记v=x2-y2,=x.从而z=f(x21) 由链式法贝

例3. ( , ), , , . 2 2 1 y z x z z f x y xy f C     设 = − 其中  求 解: 此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达 式未给出, 只能用链式法则求偏导. 引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x 2 – y 2 , v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得

匚高等数学 z=f(uv u=x2-y2, v=xy @z az Ou az Ov az + 2x+ Ox Ou ax Ov ax a z 2x-=+ Ou o=ov O2 az ouX o 2 ay y

x v v z x u u z x z     +     =   y v v z y u u z y z     +     =   y v z x u z     +   = 2 v z y u z x   +   = 2 v z x u z y   +   = −2 z = f (u, v), u = x 2 – y 2 , v = xy