匚高等数学 用同样的方法,可将该公式推广到中间变量 为3个,4个,…等情形 比如,设z=f(l,w),=(x.,y=vx,= 1y(x),满足定理条件则 dz az du az dy az dw dx au dx ay dx aw dx
用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量 为3个, 4个, …等情形. 比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则 x w w z x v v z x u u z x z d d d d d d d d + + =
匚高等数学 例1.设z=tg(u+),=x2,v=lnx,求 dz x 解:(1)z=g(x2+hnx) z'=sec2(x2+Inx) (2x+-) (2)0=se0(+,dz az 2x. dx y dv1 sec(u+y av d
例1. 设 z = tg(u + v), u = x 2 , v = lnx, . d d x z 求 解: (1) z = tg (x 2 +lnx) (2) sec ( ), 2 u v u z = + 2 . d d x x u = sec ( ), 2 u v v z = + . 1 d d x x v = z' = sec2 (x 2+lnx) ) 1 (2 x x +
匚高等数学 故d az du az dy dx au dx av dx 2x sec(u+v)+sec(u+v) x 2x sec(x+hn x)+-sec(+In x) 若.是x,y的二元函数,=(xyv=u(x,y 此时z三f(l,v)=f(v(x,y)2v(x,y)是x,y的二元函数 如何求z对x,y的偏导数?
x v v z x u u z x z d d d d d d + 故 = sec ( ) 1 2 sec ( ) 2 2 u v x = x u + v + + sec ( ln ) 1 2 sec ( ln ) 2 2 2 2 x x x = x x + x + + 若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?
匚高等数学 注意到求航是将y定 把z=f(v(x,y),v(x,y)作为一元 函数求导
. ( ( , ), ( , )) , 函数求导 把 作为一元 注意到求 就是将 固定 z f u x y v x y y x z =
匚高等数学 由上述公式.有 1°,若z=f(l2v),l=l(x,y),=v(x,y)满足定 一理条件则复合函数z=f(l(x,y),vx,y)的偏导数为 az az au Sy az az au az av Ox Ou Ox Ov Ox Oy Ou Oy Ov oj (只须将定理1中导数符号改为偏导符号)
由上述公式. 有 1 ,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y))满足定 理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y))的偏导数为 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = (只须将定理1中导数符号改为偏导符号)