《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第三章 矩阵的运算 3-1 矩阵的运算

第三章矩阵的运算 三、矩阵的乘法 在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换 设变量y1,y2,ym能用变量x1,x2,.,xm线性表示，即 1=a11X1+a12X2++a1mXn y2 d+a22x2+.+a2nx> ym amx+am2x2+.+amxn 其中a,=12,.,m,j=l2,.,m)为常数.这种从1，x2,.x到 1,y2,.,ym的变换叫做线性变换.此线性变换的系数构成 a11 a12 的mXn矩阵 a21 a22 称为线性变换的系数矩阵 am am2

第三章 矩阵的运算 三、矩阵的乘法 在引进矩阵的乘法运算之前，我们先考察线性变换. 设变量 m y , y , , y 1 2  能用变量 n x , x , , x 1 2  线性表示,即                  , , , 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x          其中a (i 1,2, ,m, j 1,2, ,n) ij     为常数.这种从 n 到 x , x , , x 1 2  m y , y , , y 1 2  的变换叫做线性变换.此线性变换的系数构成 的m×n矩阵       m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为线性变换的系数矩阵

第三章矩阵的运算 设两个线性变换 (1) y=a11x1+412X2+a13X3, x1=b1u41+b12t2, (2) x2=b2141+b22t2, y2=a21X1+a22X2+a23X3, x3=b314+b32t2, 为求出从t,42到y,y2的线性变换，可将(2)式代入(1)式 得 (3) y=(a1b1+a12b21+a13b31)t1+(a1b2+a12b22+a13b32)止2， y=(a21b11+a22b21+a23b31)t1+(a2b2+a2b22+a23b32)t2 线性变换(3)可看成是先作线性变换(1)再作线性变换(2) 的结果，我们把线性变换(3)叫做线性变换（1)与(2)的乘 积，相应地把(3)所对应的系数矩阵定义为(1)与(2)所对 应的系数矩阵的乘积，即

第三章 矩阵的运算 设两个线性变换          , , 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 y a x a x a x y a x a x a x            , , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 x b t b t x b t b t x b t b t 为求出从 到 (1) (2) 1 2 t , t 1 2 y , y 的线性变换,可将(2)式代入(1)式 得                ( ) ( ) . ( ) ( ) , 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t 线性变换(3)可看成是先作线性变换(1)再作线性变换(2) 的结果,我们把线性变换(3)叫做线性变换(1)与(2)的乘 积,相应地把(3)所对应的系数矩阵定义为(1)与(2)所对 应的系数矩阵的乘积,即 (3)

第三章矩阵的运算 412 413 b2 a1b1+a12b21+a13b1a11b2+a12b22+a13b2 421 42z d3 b31 a21b1+a2b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32 b32 2.矩阵乘法的定义 定义3设A=(a,)是mxs矩阵，B=(,)是sxn矩阵，作mXn 矩阵c=c,),其中 cy=ab+apba++aby=aabyi=. 矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB,即 a11 a12 a11b1+.+a1,b1 a11bn+.+a1bm 2 22 a21b11+.+a2,b .a21bm++.+a2,bm am2 a ms ba am1b1+.+amsb1.ambin+.+ambm mXs sXn mXn

第三章 矩阵的运算 ＝               21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2.矩阵乘法的定义 定义３ 设 是m×s矩阵, 是s×n矩阵,作m×n 矩阵 , 其中 ( ) ij A  a ( ) ij B  b ( ) ij C  c ( 1, , ; 1, , ) 1 c a 1b1 a 2b2 a b a b i m j n s k ij  i j  i j  is sj   ik kj      ， 矩阵C 称为矩阵A与矩阵B的乘积,记作C = AB，即       m m ms s s a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1       s s sn n n b b b b b b b b b        1 2 21 22 2 11 12 1                    m ms s m n ms sn s s n s sn s s n s sn a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b             1 11 1 1 1 21 11 2 1 21 1 2 11 11 1 1 11 1 1 = m×s s×n m×n

第三章矩阵的运算 注意1矩阵乘积的定义中，只有当左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B的行数时，乘积AB才有意 义 2 3 例如 3 无意义 5 注意2矩阵AB的行数等于矩阵A的行数，AB 的列数等于矩阵B的列数；AB的第行第列的元 素是A的第行与B的第列的对应元素乘积之和

第三章 矩阵的运算 注意1 矩阵乘积的定义中, 只有当左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B的行数时, 乘积AB才有意 义. 1 2 3 1 6 8 3 2 1 6 0 1 5 8 9             例如 无意义. 注意2 矩阵AB的行数等于矩阵A的行数, AB 的列数等于矩阵B的列数；AB的第i行第j列的元 素是A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和

第三章矩阵的运算 2 10 2 -1 2 例3设A= -1 3， B= 求AB. 0 3 -12 0 解 14 1×1+0×2+2×0-1×1 1×2+0x1+2x3-1×4 AB= 0x1+1×2-1×0+3x1 0×2+1×1-1×3+3×4 -1×1+2x2+0×0+1×1-1×2+2x1+0×3+1×4 0 4 5 10 注意B与A不能相乘。 4 4

第三章 矩阵的运算 1 2 1 0 2 1 2 1 3 0 1 1 3 , , . 0 3 1 2 0 1 1 4 A B AB                     例 设 求 解 1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 2 3 1 4 0 1 1 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 3 3 4 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 0 3 1 4 AB                                                     0 4 5 10 4 4        注意 B与A不能相乘