第三章矩阵的运算 内容精讲 1.矩阵运算的定义 (1)矩阵的加法：若A=a,)m，B=b)n,则A+B=(a,+b,) (2)数与矩阵的乘法：若A=a,),k∈R,则k4=ka,） (3)矩阵乘法：若A=a,)’B=b,）m,则AB=C=lc,)’其中 cy=∑asbg (4)矩阵的逆：设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B,使得AB=BA=E, 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵，记为A,即A=B, (5)矩阵的初等变换：矩阵的以下三种变换称为初等变换： (I)交换第i行（列）的位置 (Ⅱ)以非零常数k乘第i行（列）的各元素 ()以常数k乘第1行（列）各元素后加到第j行（列）对应的各元素上 这三种变换称为初等行（列）变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为 矩阵的初等变换。 (6)初等矩阵：对单位矩阵进行一次初等变换后得到的矩阵。 2.矩阵运算规律 (1)加法运算的规律： ①A+B=B+A: ②(A+B)+C=A+B+C): ③A+0=A: ④A-A=0. (2)数乘： ①2AA2:其中1∈R ②1(kM)=(元k)A;其中2eR,k∈R ③(1+k)·A=元·什k·A:其中1∈Rk∈R ④2·(HB)=元·A+入·B:其中1∈R (3)乘法：①(A·B)·C=A·(B·CO:
第三章 矩阵的运算 内容精讲 1．矩阵运算的定义 （1）矩阵的加法：若 m n A aij ， m n B bij ，则 m n A B aij bij . （2）数与矩阵的乘法：若 m n A aij ，k R, 则 m n ij kA ka . （3）矩阵乘法：若 m s A aij ， s n B bij ，则 m n ij AB C c ，其中 ij c = s k aikbkj 1 . （4）矩阵的逆：设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 AB BA E， 那么矩阵 A 称为可逆矩阵，而 B 称为 A 的逆矩阵，记为 1 A ，即 1 A = B . （5）矩阵的初等变换：矩阵的以下三种变换称为初等变换： （Ⅰ）交换第 i 行（列）的位置 （Ⅱ）以非零常数 k 乘第 i 行（列）的各元素 （Ⅲ）以常数 k 乘第 i 行（列）各元素后加到第 j 行(列）对应的各元素上. 这三种变换称为初等行（列）变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为 矩阵的初等变换。 （6）初等矩阵：对单位矩阵进行一次初等变换后得到的矩阵。 2 .矩阵运算规律 （1） 加法运算的规律： ① A+B =B+A； ② (A+B)+C =A+(B+C)； ③ A+0 =A； ④ A－A =0. （2） 数乘： ① A=A ；其中 R ② (kA）=（ k）A ； 其中 R, k R ③ （ +k）·A= ·A+k·A； 其中 R, k R ④ ·（A+B）= ·A + ·B ； 其中 R （3）乘法：①（A·B）·C =A·（B·C）；
②A·(B+C)=A·B+A·C ③(+B)·CA·C+B·C: ④k(A·B)=(kA)·B:其中k∈R 3.基本定理 定理1设A为n阶方阵，则下列命题等价： (I)A满秩： (Ⅱ)A可逆： (I)A≌后 (N)A非奇异： (V)A=卫·E.P,:其中卫(I=12,.M为初等可逆矩阵 定理2当A可逆时，则 其中A为A的伴随矩阵 4.可逆矩阵的性质： 设A,B为同价可逆矩阵，则 (1)(4'=A (20.Eg (3)(4B=BA (4)(A'=(4 1 5.难点解 (1)任何两个矩阵A,B都能进行加，减或相乘运算吗？ 答：不是，第一，只有当A,B为同型矩阵时，才能进行加（减）运算：第二， 只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵的行数相同时，A与B才能相乘。 (2)若A·B=A·C能推出B=C吗？ 答：不能，因为矩阵的乘法不满足消去律，如
② A·（B+C）=A·B +A·C； ③（A+B）·C=A·C +B·C； ④k（A·B）=（kA）·B ；其中 k R 3. 基本定理 定理 1 设 A 为 n 阶方阵，则下列命题等价： （Ⅰ）A 满秩； （Ⅱ）A 可逆； （Ⅲ）A ≌E； (Ⅳ) A 非奇异； （Ⅴ）A = P1 · P2 . PN ；其中 Pi （I =1,2,.N）为初等可逆矩阵 定理 2 当 A 可逆时，则 1 A = * | | 1 A A 其中 * A 为 A 的伴随矩阵. 4. 可逆矩阵的性质： 设 A，B 为同价可逆矩阵，则 （1） 1 1 A =A （2） 1 1 1 A k kA ，k≠0,k∈R （3） 1 1 1 A B B A （4） 1 1 A A （5）| 1 A |= | | 1 A 5. 难点解疑 （1）任何两个矩阵 A,B 都能进行加，减或相乘运算吗？ 答：不是，第一，只有当 A,B 为同型矩阵时，才能进行加（减）运算；第二， 只有当第一个矩阵 A 的列数与第二个矩阵的行数相同时，A 与 B 才能相乘。 （2）若 A·B =A·C 能推出 B =C 吗？ 答：不能，因为矩阵的乘法不满足消去律，如
468c88 则A·=A·C,但B≠C (3)矩阵的乘法满足交换律吗？ 答：不满足，如 10 4A=01 =(980 (10 显然A·B≠B·A. (4)两个非零矩阵相乘，结果一定不是零矩阵吗？ 答：不一定，如 -0889 则A·B=0. (5)有没有不是方阵的矩阵A·B满足A·B=贸 答：有，如 -08-88 10 (00 则A·B=E (6)设A,B,C为与E同阶的方阵，其中E为单位方阵，若A·B·CE, 间：B·C·A=E,A·C·B=E,C·A·B=E,B·A·C=E,C·B·A=E中哪些 总成立？ 答：由于A·B·C=E,A·B=C-,B·C=A,C·A·FE,B·C·作E 总成立，而其它等式则不一定成立
A = 0 0 1 0 ，B = 0 1 0 0 ，C = 0 0 0 0 ， 则 A·B=A·C，但 B ≠C （3）矩阵的乘法满足交换律吗？ 答：不满足，如 A = 0 1 0 1 0 1 ，B = 0 1 0 0 1 0 ， 显然 A·B ≠B·A . （4）两个非零矩阵相乘，结果一定不是零矩阵吗？ 答：不一定，如 A= 0 0 1 0 ，B= 0 1 0 0 ， 则 A·B =0. （5）有没有不是方阵的矩阵 A·B 满足 A·B = E？ 答：有，如 A = 0 0 1 0 0 1 ，B = 0 1 0 0 0 1 ， 则 A·B =E. （6）设 A，B，C 为与 E 同阶的方阵，其中 E 为单位方阵，若 A·B·C=E， 问：B·C·A =E，A·C·B =E，C·A·B =E，B·A·C =E，C·B·A =E 中哪些 总成立？ 答：由于 A·B·C =E，∴A·B = 1 C ，B·C = 1 A ，∴C·A·B=E，B·C·A=E 总成立，而其它等式则不一定成立