2.最大收益问题例 4 某商品的需求函数为Q=Q(P)=75-P2问P为多少时，总收益最大？R(P) = 75-3P2解: R(P)=QP=(75-P2)P令R(P)=0,得P=5(唯一驻点)R"(P)|p=5 =-30<0,故P= 5时收益最大经济数学微积分
2. 最大收益问题 例 4 某商品的需求函数为 2 Q = Q(P) = 75 − P ， 问 P 为多少时，总收益最大？ 解： R(P) QP (75 P )P 2 = = − 2 R(P) = 75 − 3P 令R(P) = 0,得P = 5(唯一驻点) ( ) 30 0, 5 . R P P=5 = − 故P = 时收益最大
例5设某商品的单价为P时，售出的商品数量0可表示为CO=p+b-℃，其中a,b,c均为正数，且a>bc.（1）求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？（2）要使销售额最大，P应取何值，最大销售额是多少？经济数学微积分
例 5 设某商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可表示为 c P b a Q − + = ，其中 a,b,c 均为正数，且 a>bc. （1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a解 (1)销售额R(P)= PQ= PP+bab-c (P +b)2R(P) = (P+b)?abVa-Vbc)令R(P)=0,得P,= V由题设a>bc,P>0,(Na-/bc)时故当0<P有R'>0,相应的销售额将随单的增加而增加经济数学微积分
解 0 0 ( ) 0, ( ) ab b R P P b a bc c c 令 = = − = − 得 故 当 时 由题设 0 ( ) , 0, a bc c b P a bc P − . 0, 相应的销售额将随单价 的增加而增加 有 P R (1) ( ) ( c ) P b a R P PQ P − + 销售额 = = 2 2 ( ) ( ) ( ) P b ab c P b R P + − + =
当P(Va-/bc)时,相应的销售额将随单的增加而减少(2)由(1)可知P,是销售额的极大值点，又是唯一驻点，所以R在P.处取得最大值，最大销售额为ababR(P.):= (Va -/bc)经济数学微积分
当 ( a bc)时, c b P − 相应的销售额将随单价P的增加而减少. 点，所以 在 处取得最大值，最大销售额为 由 可 知 是销售额的极大值点，又是唯一驻 0 0 (2) (1) R P P 2 0 ( ) ( ) / a bc c c ab b a c ab R P = − − = −
例6设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为P=P(x)=10e2，且最大需求量为6，其中x表示需求量，P为价格：(1)求该商品的收益函数和边际收益函数；(2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应的价格；(③画出收益函数的图形。经济数学微积分
例 6 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知 该商品的需求函数为 2 ( ) 10e x P P x − = = ，且最大 需求量为 6，其中 x 表示需求量，P 为价格： (1)求该商品的收益函数和边际收益函数； (2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应 的价格； (3)画出收益函数的图形