dR(Q)dC(Q)dQdQdR(Q)dC(Q)表示边际成本表示边际收益dQdQ显然，为使总利润达到最大，还应有d'[R(Q)-C(Q)]< 0,(R"(Q)-C"(Q)<0)dq?d[c(Q)]12 (R(Q)即(R"(Q)<C"(Q))do?do?微积分经济数学
dQ dC Q dQ dR(Q) ( ) = 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dC Q dQ dR(Q) ( ) 显然，为使总利润达到最大，还应有 0,( ( ) ( ) 0) ( ) ( ) 2 2 − − R Q C Q dQ d R Q C Q ,( ( ) ( )) ( ( )) ( ) 2 2 2 2 R Q C Q dQ d C Q dQ d R Q 即
例1某厂每批生产A商品X台的费用为C(X）=5X+200（万元），得到的收入为R(X）=10X-0.01X2（万元），问每批生产多少台，才能使利润最大？解：设利润为L(X),则L(X) = R(X)-C(X) = 5X - 0.01X2 - 200L'(X) = 5- 0.02X令L'(X)=0，解得X=250(台)，由于L"(X) = -0.02<0所以L(250)=425(万元)为极大值，也就是最值福经济数学微积分
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C(X) = 5X + 200(万 元)，得到的收入为 2 R(X) = 10X − 0.01X (万元)，问每批生 产多少台，才能使利润最大？ 解： 设利润为L(X),则 ( ) ( ) ( ) 5 0.01 200 2 L X = R X −C X = X − X − L(X) = 5 − 0.02X 令L(X) = 0，解得X = 250(台)，由于 L(X) = −0.02 0 所以L(250) = 425(万元)为极大值，也就是最大值
例2设某厂的成本函数为C(Q)=aQ°+bQ+，需求函数为Q=(d-P)/e，其中C(Q)为成本，Q 为需求量产量，P为价格，a，b，c，d，e均为正常数，且>b，求利润最大时的产量及最大利润解:由Q=(d-p)/e,得P=d-eQ,故得收益函数R(Q) = Q. P = Q(d -eQ)利润函数为L(Q) = R(Q) - C(Q)=(d -b)Q-(e+a)Q? -c吧经济数学微积分
例 2 设某厂的成本函数为 2 C Q aQ bQ c ( ) = + + ，需求函数为 Q = (d − P)/ e，其中C(Q)为成本，Q 为需求量产量，P 为价 格，a，b，c，d，e 均为正常数，且 d>b，求利润最大时的产量 及最大利润. 解： 由Q = (d − p)/ e,得P = d − eQ,故得收益函数 R(Q) = Q P = Q(d − eQ) 利润函数为 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L Q R Q C Q d b Q e a Q c = − = − − + −
L'(Q) = (d -b) - 2(e + a)O由L(Q) = 0,得唯一驻点Q=(d-b) /2(e+a)又L"=-2(e+a)<0,故Q = Q。 = (d -b) /2(e+a)时利润最大最大值为L(Q.) = L[(a - b) / 2(e + a)]= [(d -b)? / 4(e +a)]-经济数学微积分
L(Q) = (d − b) − 2(e + a)Q ( )/ 2( ) ( ) 0 Q0 d b e a L Q = − + = 得唯一驻点 由 ， 又L = −2(e + a) 0,故 时利润最大,最大值为 ( )/ 2( ) Q = Q0 = d − b e + a d b e a c L Q L a b e a = − + − = − + ( ) / 4( ) ( ) ( )/ 2( ) 2 0
例3假设某种商品的需求量Q是单价P（单位：元）的函数：Q=12000-80P；商品的总成本C是需求量的函数：C=25000+50Q，每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润解 L = (12000-80P)(P-2)-(25000 + 50Q)=-80P2 +16160P-649000L'(P) = -160P +16160令L'(P)=0得P=101且是唯一极值点，又因L"(101)=-160<0,故当P=101元时,L(P)有最大值，且最大值为L(101) =167080(元)经济数学微积分
例 3 假设某种商品的需求量Q 是单价 P (单位:元)的函数： Q = 12000 − 80P ；商品的总成本 C 是需求量的函数： C = 25000 + 50Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利 润最大的商品价格和最大利润. 解 L = (12000− 80P)(P − 2) −(25000+ 50Q) 80 16160 649000 2 = − P + P − L(P) = −160P +16160 令L(P) = 0得P = 101且是唯一极值点， 又因L(101) = −160 0,故当P = 101元时， (101) 167080( ) ( ) 元 有最大值，且最大值为 L = L P