x-5x+1=0有且仅有一个小于1的例1.证明方程正实根证：1)存在性设f(x)= x2-5x+1,则f(x)在[0,1]连续,且f(O)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在 xoE(0,1),使f（xo）=0，即方程有小于1的正根Xo2)唯一性假设另有x E(0,l),x ≠xo,使f(x)=0,：f(x)在以Xo，Xi为端点的区间满足罗尔定理条件，：在 xo，xi之间至少存在一点 ≤,使 f()=0但f'(x)=5(x4-1)<0,xE(0,1),矛盾,故假设不真！目录上页下页返回结束机动
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0 ,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f ( x)在 以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之 间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设
y=f(x)二、拉格朗日中值定理Vy=f(x）满足(1)在区间［α，b1上连续bxSa(2）在区间（α，b）内可导至少存在一点 ≤e(a,b),使 f(≤)=(b)-T(a)b-af(5)-(6)-(a)=0证：问题转化为证b-ap(x) = f(x) _ f(b)-f(a)作辅助函数b-a显然,Φ(x)在「α,bl上连续,在（aα,b）内可导，且(a) _ bf(a)-af(b)=(b),由罗尔定理知至少存在一点b-a=E(a,b),使β(5)=0,即定理结论成立证毕目录上页下页返回结束机动
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f ( x ) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . = (b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式：令a=xo，b=xo+△x，则(0<0<1)y=f(xo+0△x)AxE若函数f(x)在区间I上满足f(x）=0,则f(x）推论：在1上必为常数证：在1上任取两点x,x（xi<x2），在[xi,x2]上用拉日中值公式，得f(x2)-f(xi)=f(5)(x2-x)=0 (Xi<=<x2)f(x2)= f(x1)由xi,x2的任意性知，f(x)在I上为常数目录上页下页返回结束机动
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 = 0 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y = f x0 + x x 令 则