112线性方程组的解的情况及其判别准则Cnx,+C12t2+...+Cinx,=d,,Cai*in+..+Cnx,=d2,(3)Ca*.+".+cm".=d,,0=0,0=0,其中c，caz，，c都不为0.这时，"，,是主变量，其余n-r个未知量是自由未知量.给n-r个自由未知量一组值，则方程组（3）的第r个方程变成x的一次方程，可解出x；将x,的值代人前r-1个方程中，从第r-1个方程可解出*j-1依次往上代人，可解出x-2，，i，*.从而得到方程组的一个解.由于这n-r个自由未知量可以取无穷多组值，因此方程组（3）有无穷多个解.这无穷多个解可以用一般解表示：x=cix++cix+d,,xn=c2x++c2x,+d2,(4)x=chx++cx,+d,,其中，，是自由未知量情形2.3r>n.n元阶梯形方程组的增广矩阵共有n+1列，由于r个主元应当分布在不同的列，因此r≤n+1.于是r=n+1.这时有n+1个主元，分别位于第1,2，，n+1列.于是第n+1行的主元c位于第n+1列.从而第n+1个方程为0=c+l，这与情形2的已知条件矛盾.因此r>n是不可能的综上所述，我们得到下面的结论：定理1几元线性方程组的解的情况有且只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多个解.把几元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯形方程组出现“0=d（其中d是非零数）”这样的方程，则原方程组无解：否则，有解.当有解时，如果阶梯形矩阵的非零行数目等于未知量数目n，则原方程组有唯一解；如果非零行数目r<n，则原方程组有无穷多个解，1如果一个线性方程组有解，则称它是相容的：否则，称为是不相容的，例1为何值时，下述线性方程组有解？当有解时，求出它的所有解
12第1章线性方程组2,3x,+x2-x-2x=-1,-5x2+2x3+x4=xi(5)2x,+6x2=3x,-3x4=a+1,- 4.-x,-11x2+5x+4x4=解311-22)--5211-126-3-3a+15-114-4(12-511- 1)23-211-(@.②)263a+1-354-4-1-1121(1-5- 1)50- 5167-016.7-5a+3-75(0-16- 5-521(1-1)50-516-700a-200(o0000原线性方程组有解当且仅当a-2=0，即a=2.此时再施行初等行变换化成简化行阶梯形：2-5I(1-1-521-1)17550-550116-71616160000000000(o00000000039910161616557011616160000000000因此原方程组的一般解是
132线性方程组的解的情况及其判别准则399X16416号16755*216*416*16'其中是自由未知量下述线性方程组有什么特点？它是否一定有解？x,+3xz-4x+2x=0,3x—x2+2x-x=0,(6)-2x,+4x2-x+3x,=0,3x+9x2-7%,+6x=0.线性方程组（6）的每个方程的常数项都为0.常数项全为0的线性方程组称为齐次线性方程组.显然，（0，0，00）是齐次线性方程组（6）的一个解，这个解称为零解.任何一个齐次线性方程组都有零解.如果一个齐次线性方程组除了零解外，还有其他的解，则称其他的解为非零解.根据定理1的前半部分得出，如果一个齐次线性方程组有非零解，那么它就有无穷多个解，如何判断一个齐次线性方程组有没有非零解？运用定理1便得出推论2n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵经1过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目r<n从推论2又可得到推论3如果n元齐次线性方程组方程的数目s<n，那么它一定有非零解证明把齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，它的1非零行的数目r≤s<n，因此齐次线性方程组有非零解，例2判断齐次线性方程组（6）有无非零解，如果有非零解，求出它的一般解.解齐次线性方程组的增广矩阵的最后一列元素全为0，在对它作初等行变换时，所得到的矩阵的最后一列元素也总是全为0.因此我们只要对系数矩阵进行初等行变换化成阶梯形矩阵13-43-42(12)230-1014-1-73005- 240-16030009-7阶梯形矩阵的非零行数目为3，它小于未知量数目4，因此原齐次线性方程组有非零解.由于经过初等行变换有
14第1章线性方程组1100310(142)70147101-00110005000o000010000因此原齐次线性方程组的一般解是1x,10t,7x,410x,=0其中x是自由未知量习题1.21.α为何值时，下述线性方程组有解？当有解时，求出它的所有解4x,+2x,=-1T3.x +llx, -x, =3x.-5x,+7x,=a.2.0为何值时，下述线性方程组有唯一解？4为何值时，此方程组无解？+x,+x,=3.x,+2xy-ax, =92x,x+3x,=6.3.（1）下述线性方程组有无解？有多少个解？+y=1.Xx-3y=-1,10x-4y=3.（2）改变第（1）小题的方程组的一个方程的某一个系数，使得新的方程组没有解（3）在平面直角坐标系0xy里，画出第（1）小题中各个方程表示的图形4.为何值时，下述线性方程组有解？当有解时，求它的所有解，=7.x+x,+x+x=8.+3x,x,x=x, +2x,-x,+x, =2a+2.- 11,3x,+3x+3x,+2x=2a.[2x,+2x,+2x,+x,=
1583数域5.当e与d取什么值时，下述线性方程组有解？当有解时，求它的所有解.x++y+*+x=1,3x,+2x2+x,+xg-3xg=c,x,+2x, +2x, +6x, = 3,5x,+4x,+3x,+3x-x,=d.6.是否存在二次函数f(x）=ax+bx+c，其图像经过下述4个点：P(1,2),Q(-1,3),M(-4,5),N(0,2)?7.下列齐次线性方程组有无非零解？若有非零解，求出它的一般解-5x2+x,-2x,=0,3x,(1)2x,+3x,-5x，+x,=0x,+7x,-4x,+3x,=0,4x,+15x,-7x,+9x,=0;(2) 5x, 2x, +4x, 3x,= 0,-3x+5xzx,+2x,=0,x,-3x,+2x+x4=0.*8.二个投资者想把1万元投给3个企业A，，A，A，，所得的利润率分别是12%，15%，22%.如果他投给A，的钱等于投给A，与A，的钱的和，求总利润1（千元）的最大值和最小值，此时分别投给A,.43.A，各多少千元？83数域下述线性方程组在有理数集范围内有解吗？在整数集范围内呢？22x+Y=(1)[4x-3y=-1在有理数集范围内解线性方程组（1）：1212222214350011①00222011于是方程组的解如果在整数集范围内解方程组（1），那么上述求解过程中最后一步是行不1通的（因为一一不是整数，所以不能用一一乘第1个方程.或者说，由于整数集对除法22