16第1章线性方程组不封闭，即任意两个整数的商有可能不是整数，因此不能用2去除第1个方程），这样在整数集范围内，方程组（1）没有解从上述例子看出，由于矩阵的3°型初等行变换需要用一个非零数乘某一个方程，以便使阶梯形矩阵的主元变成1，因此为了使初等行变换能畅通无阻地施行，就应当要求所考虑的数集对于加法、减法、乘法、除法（除数不为0）都封闭即该数集内任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于这个数集.我们在前面两节讨论线性方程组的解法和解的情况的判定时，已经假定了所取的数集具有这个性质.现在我们把它明确地说出来定义1设K是复数集的一个子集，如果K满足：(1)0,IEK;u（2）对于任意的a，beK，都有a±b，abeK，并且当b≠0时，有一EKh那么称K是一个数域.数域K满足的第（2）个条件可以说成：K对于加、减、乘、除4种运算封闭显然，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，分别称Q，R，C是有理数域，实数域，复数域.但是整数集Z不是数域除了Q，R，C外，还有很多数域.例如，令Q(/2)=1a+b/2la,beQ/,显然，0=0+0/2eQ（/2），1=1+0/2eQ（V2），并且容易验证Q（2）对于加、减、乘、除4种运算封闭，因此，Q（2）是一个数域（参看参考文献［17]的$1.3的例1）上面列举的数域Q，R，C，Q（2），哪个最小？（即，哪个数域是所有数域的子集？）命题1任一数域都包含有理数域证明设K是一个数域，则0,1eK，从而2=1+1EK,3=2+1EK,,n=(n-1)+1EK.即，任一正整数nEK.又由于-n=o-neK,因此任一负整数-nEK.从而ZCK.于是任一分数a福EK（其中b￥0).b1因此，QCK.从现在起，我们取定一个数域K，所讨论的线性方程组都是数域K上的，即它的全部系数和常数项都属于K，并且在数域K里求它的解，从而它的每一个解
17应用与实验课题：配制食品模型都是数域K里的数组成的有序数组.所讨论的矩阵，若它的全部元素都属于K，则称它为数域K上的矩阵.做矩阵的初等行变换时，“倍数”“非零数”都属于K.习题1.31.令Q(i)=la+bi[a，bQl，证明：Q(i）是一个数域2.最大的数域是哪一个？（即，哪一个数域包含了所有的数域？）应用与实验课题：配制食品模型某食品厂收到了2000kg食品的订单，要求这种食品含脂肪5%，碳水化合物12%，蛋白质15%.该厂准备用5种原料配制这种食品，其中每一种原料含脂肪、碳水化合物、蛋白质的百分比和每千克的成本（元）如下表所示：A,A2AsA.As86324脂肪52510155碳水化合物515201010蛋白质4.422.42.83.2每千克的成本1.用上述5种原料能不能配制出2000kg的这种食品？如果能够，那么解是唯一的吗？写出它的所有解，2.对于第1小题，写出所花费的成本的表达式，并且求每种原料用多少量时成本最低（有的原料可以不用）：3.用A1，Az,4，A,这4种原料能配制2000kg这种食品吗？如果能够，它的解是唯一的吗？求出这时所花费的成本，4.用A.,A,A,A，这4种原料能配制2000kg这种食品吗？5.用A，,A4,A，这3种原料呢？
第2章行列式第1章82定理1给出了线性方程组有没有解，有多少解的判别准则，它需要首先把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵.能不能直接用原来的线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解呢？先研究两个方程的二元一次方程组：aux,+ai,=br,(1)aax,+aaax,=b,其中an，a2不全为0，不妨设au≠0.将它的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵：b,anla12②+①b(ana12a21a20a22a21a 22ana,情形1am~22-a12021+0.此时原方程组有唯一解：(2)b,a22-b,a12a.by-anb221202222情形2a142=a12α2=0.此时原方程组无解或者有无穷多个解综上所述得出命题1两个方程的二元一次方程组（1）有唯一解的充分必要条件是：1ama2-a12α2￥0.此时，唯一解如（2）式所示为了便于记忆表达式ana22-a12a2，我们把它记成anan(3)aa于是表达式aα22-α1202就是（3）中主对角线（从左上至右下的对角线）上两个元素的乘积减去反对角线（从右上至左下的对角线）上两个元素的乘积表达式a2-a12α2称为2阶行列式，它可以用记号（3）来简洁地表示.设(aA12A(4)a210则2阶行列式aα2-a12a2也可称为2级矩阵A的行列式，简洁地记作|A|或者 det A.利用2阶行列式的概念，（2）中的两个分数的分子可以分别简洁地记成
19g1n元排列b.(5)b2a2b,有了2阶行列式的概念，我们可以把命题1叙述成：命题1两个方程的二元一次方程组（1）有唯一解的充分必要条件是：它的系数行列式（即系数矩阵A的行列式）|A≠0，此时它的唯一解是[b,a12ant6(6)b,b.a2ia22aua12s1712a2a21a22公式（6）中的第一个分数的分子是将系数行列式的第1列换成方程组的常数项得到的2阶行列式，而第三个分数的分子是将系数行列式的第2列换成常1数项得到的2阶行列式命题1告诉我们，两个方程的二元一次方程组有没有唯一解可以用它的系数行列式来判别；有唯一解时，解可以用系数行列式以及用常数项替换其相应的列得到的行列式来表示，对于n个方程的几元线性方程组有没有类似的结论？这需要有n阶行列式概念这一章我们就来介绍几阶行列式的概念和性质，并且回答上述问题81n元排列2阶行列式aa12(1)Q02212021,a21a22表达式的第1项前面带正号，第2项前面带负号，这是由什么决定的？第1项中两个数乘积aα23，其行指标依次是1,2，列指标依次是1,2；而第2项中a1292的行指标依次是1，2，列指标却依次是2，1.由此看出，当每一项的两个数按照行指标由小到大排好后，它的列指标形成的排列决定了该项前面所带的符号.这启发我们，为了得到n阶行列式的概念，需要首先讨论n个自然数组成的全排列的性质.定义1n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列，例如，自然数1，2，3形成的3元排列有123,132,213,231,312,321.给定n个不同的自然数，它们形成的全排列有n!个.因此对于给定的n个不同的自然数，几元排列的总数是n！
20第2章行列式我们在大多数情形下，考虑的是自然数1，2，…，n形成的n元排列，在某些情形下也需要考虑某几个不同的自然数形成的几元排列.下面讨论的n元排列的性质，如果没有特别声明，考虑的是1，2，，n形成的n元排列，但对任意n个不同的自然数形成的几元排列也成立4元排列2341中，2与3形成的数对23，小的数在前，大的数在后，此时称这一对数构成一个顺序；而2与1形成的数对21，大的数在前，小的数在后，此时称这一对数构成一个逆序.排列2341中，构成逆序的数对有21，31，41，共3对，此时我们称排列2341的逆序数是3，记作←（2341）=3.上述顺序、逆序、逆序数的概念也适用于任一几元排列4元排列2143中，构成逆序的数对有21，43，共2对.于是T（2143）=2逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列，上述例子中，2341是奇排列，2143是偶排列把排列2341的3和1互换位置，其余数不动，便得到排列2143.像这样的变换称为一个对换，记作（3，1）.对换的概念也适用于n元排列奇排列2341经过对换（3，1）变成的排列2143是偶排列.由此猜想有下述结论：定理1对换改变n元排列的奇偶性证明先看对换的两个数在n元排列中相邻的情形：(I)..ij..(ij)(I)1.i和j以外的数构成的数对是顺序还是逆序，在（I）与（Ⅱ）中是一样的；i和j以外的数与（或i）构成的数对是顺序还是逆序，在（I）与（Ⅱ）中也是一样的.只有数对ü，如果它在（I）中是顺序，那么它在（Ⅱ）中是逆序：如果它在（I）中是逆序，那么它在（Ⅱ）中是顺序.前一情形，（IⅡ）比（I）多一个逆序：后一情形，（Ⅱ）比（I）少一个逆序.因此（I）与（ⅡI）的奇偶性相反，再看一般情形：....ik...kj.....(Ⅲ)(i.j)....jk...k....(IV)从（Ⅲ）变成（IV）可以经过下列相邻两数的对换来实现：(i,k,),,(i,h).(i,j),(k).",(krj)这一共作了s+1+s=2s+1次相邻两数的对换.由于奇数次相邻两数的对换会改变排1列的奇偶性，因此（Ⅲ）与（IV)的奇偶性相反