6第1章线性方程组相应的阶梯形方程组，进行求解；或者一直化成简化行阶梯形矩阵，写出它表示的线性方程组，从而可以立即得出解。可以证明，任何一个矩阵都能经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵，并且能进一步用初等行变换化成简化行阶梯形矩阵.从例1的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵的过程可以看出证明的思路，然后用数学归纳法写出证明（参看参考文献[17]的81.1的定理1和推论1例2解下述线性方程组：x-x2+x=1,%-x2-x,=3,[2x,-2x-x,=3.解1-11-1111②+①.（-1)@+8.2120021CT102213C31111)001-1003111)(1 -1③+②·3010-10002写出最后这个阶梯形矩阵表示的线性方程组：+x=1x, =-1,0=-2.x，2，，无论取什么值都不能满足第3个方程：0=-2.因此，原线性方程组无解，例3解下述线性方程组：x-x+=1,x,-x2-x,=3,[2x,-2x2—x=5.解
7$1高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法-111)-11111②+O(-R?+:210023-2-1-11005-3322-111)-13001-1003-31- 1?+②·301000000-121①+②·（-1)00110000最后这个简化行阶梯形矩阵表示的线性方程组是x,-x2=2,x, =- 1,0 = 0.从第1个方程看出，对于x，每取一个值c2，可以求得x，=c+2，从而得到原方程组的一个解：（cz+2，C2，-1）.由于c可以取任意一个数，因此原方程组有无穷多个解.我们可以用下述表达式来表示这无穷多个解：[x,=x+2,x, =-1.这个表达式称为原线性方程组的一般解，其中以主元为系数的未知量x，x，称为主变量，而其余未知量x，称为自由未知量.一般解就是用含自由未知量的式子来表示主变量从例2看到，把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯形方程组出现“O=d（其中d是非零数）”这样的方程，则原方程组无解.从例1和例3，我们猜想：如果相应的阶梯形方程组不出现“0=d（其中d手0）”这种方程，则原方程组有解.下一节将证明这个猜想是正确的例1的阶梯形矩阵的非零行数目为4，与未知量数目4相等.例3的阶梯形矩阵的非零行数目为2，小于未知量的数目3.由此猜想：在线性方程组有解的情况下，它的增广矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，如果非零行的数目等于方程组的未知量数目，则原方程组有唯一解：如果非零行的数目小于未知量的数目，则原方程组有无穷多个解.下二节将证明这个猜想也是正确的。线性方程组有解时，把阶梯形矩阵经过初等行变换进一步化成简化行阶梯
8第1章线性方程组形矩阵，则可以立即写出原方程组的唯二解或者无穷多个解现在我们把解线性方程组的方法总结如下：增广矩阵初等行变换阶梯形矩阵相应的阶梯形方程组出现0=d(d+0)?否是初等行变换原方程组无解简化行阶梯形矩阵非零行数目=未知量数目？是否原方程组有唯一解，有无穷多个解，可立即写出解可写出一般解上述解线性方程组的方法称为高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法习题1.11.解下列线性方程组：x,-3x,-2x;=3,-2x,+x,-4x,=-9,(1)-x,+4x2-x,=-7;x,+3x,+2x,=1,2x,+5x,+5x,=7.(2)3x, +7x, +x,= -8,-x,-4x, +x,= 10;6.x#-3x-23y-x,=3x,-8x2+x,+5x,=0.(3)2x,+x,4x,+x,=-12.2;x,+4x2-3x,=X
992线性方程组的解的情况及其判别准则x, +3x-7x,=-8,4.2%，+5xz+4xg=(4)3, -7x2 -2x,= -3,x, +4x, -12x,= -15;Ax,-2x,+3x,-4x,=x,+x,= -11,+x2(5)+3xz1.+x,=-7x2 +3x,+x,=-3.2.一个投资者想把1万元投给3个企业A，，A，A，，所得的利润率分别是12%，15%，22%.他想得到2000元的利润，（1）如果投给A，的钱是投给A，的2倍，那么应当分别给A，Az，A，投资多少？（2）可不可以使投给A，的钱等于投给A，与A，的钱的和？3.解下列线性方程组：2x,-3xz+x,+5x,=6(1)-3x,+x,+2x,-4x,=5,x, 2x, +3x, +x,= -2;2x,-3xz+xy+5x,=6,(2)3x,+xz+2x,-4x,=5,"x,2x,+3x,+x,=11;x,-5xz-2x,=4,2x,-3x,+x,=7(3)-x,+12x,+7x,=-5,x，+16x,+13x,=-1x,-5x,-2x,=4,2x,-3x,+x,=7,(4)-x, +12x2 +7x, = -5,x，+16x,+13x,=182线性方程组的解的情况及其判别准则上一节的例1、例2、例3的线性方程组分别有唯一解，无解，有无穷多个解，例2的阶梯形方程组出现0=-2这个方程，从而无解.例1和例3的阶梯形方程组没有出现“0=d（其中d是非零数）”这种方程，它们分别有唯一解和无穷多个解.这启发我们猜想线性方程组的解只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多个解，而且猜想阶梯形方程组是否出现“0=d（其中d≠0）”这种方程，是线性方程
10第1章线性方程组组无解还是有解的判别准则，上一节的例1和例3的线性方程组都有解，但前者有唯一解，后者有无穷多个解.从它们的增广矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的不同之处，我们猜想：在有解的情况下，当阶梯形矩阵的非零行数目等于未知量数目时，有唯一解：非零行数目小于未知量数目时，有无穷多个解，下面我们来证明上述猜想是正确的由于线性方程组与对它进行初等变换得到的阶梯形方程组同解，因此我们只要讨论阶梯形方程组的解有几种可能及其判别准则.设阶梯形方程组有n个未知量，情形1阶梯形方程组中出现0=d（其中d≠0）这种方程.由于这种方程无解，从而阶梯形方程组无解.情形2阶梯形方程组中不出现“0=d（其中d≠0）”这种方程，我们设阶梯形方程组的增广矩阵中，非零行的数目为「，则主元数目为「情形2.1r=n.此时n个未知量都是主变量.由于n个主元应分布在不同的列，因此阶梯形方程组一定是下述形式：Cna+Cnx, ++Cnx,=d,C22x2+..+C2nx,=d2,(1)Cax,=d,,0=0,0=0,其中c，c22，，c都不为零.对于（1)的增广矩阵施行初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定形如00001d'00100d'.：：：:：(2)00001d'000000.：：：：：：000000从而阶梯形方程组有唯一解：（di,d.,d）"情形2.2r<n.此时阶梯形方程组形如