第1章线性方程组在实际问题或数学问题中，常常需要求一些未知的量，用字母*，*3，"表示它们，根据问题中的等量关系，列出方程组，最基本、最常见的一类方程组是未知量x，*2的一次方程组，我们称它们是线性方程组.为了统一地研究它们，我们建立线性方程组的模型，即anx,+a12x2+...+ai.x,=b1,a2i3+422*2+.+a2n*,=b2,(*)a,x,+aaxz+...+a.x,=b.,其中每个方程的左端是未知量，2，，，的一次齐次式，右端是常数（称为常数项）.与未知量相乘的数称为系数，a是第i个方程中x的系数，i=1,2，，s；j=1,2，，n.方程组（*）中，方程的数目s与未知量的数目n可以相等，也可以不相等（s<n或s>n都可能）对于n元线性方程组（*），如果未知量x，2，，，分别用数c，C2，，c代人后，每个方程都变成恒等式，那么我们称n元有序数组（c，C2，，c,）是线性方程组（*）的一个解，其中（c，c2，，c）表示把这个数组写成一列的形式方程组（*）的所有解组成的集合称为这个方程组的解集根据实际问题和数学问题的需要，我们要研究线性方程组的下列几个问题：1.线性方程组是否一定有解？有解时，有多少个解？2.如何求线性方程组的解？3.线性方程组的解不止一个时，解集的结构如何？4.线性方程组有解时，它的每一个解是否都符合实际问题的需要？（我们把符合实际问题的解称为可行解，）这一章和第2，3章都将围绕这些问题展开讨论s1高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法如何求线性方程组的解？我们来看一个具体例子，例1求下述线性方程组的解：
2第1章线性方程组x,+3x,+x,+2x,=43x,+4x,+2x,-3x±=6(1)-x,-5x,+4x,+x,=11,2x+7x+x,-6x=-5.分析如果我们能设法消去未知量x，x2，，最后剩下一个含x的一次方程，那么就能求出x的值.从而得到只含，x2，，的线性方程组.类似地，可以相继求出未知量x，2，，所取的值.所谓消去未知量1，就是使x的系数变成0.为了使线性方程组的求解方法能适用于含成百上千个未知量的方程组，便于用计算机编程序去计算，我们应当使解法有规律可循.今后我们用记号“②+①·（-3）"表示把方程组的第1个方程的-3倍加到第2个方程上，用记号“（②、④）”表示把方程组的第2，4个方程互换位置，用记号④·c表示用非零数c乘第4个方程，解4.x,+3x2+x，+2x=-5x2-x3-9x=-6,②+①.(-3)③+@.1-2x,+5x,+3x,=15,④+①·(-2)x2-x,-10x,=-13把第2，4个方程互换位置（目的是在下一步避免分数运算）：4.x+3x2+x+2x,=x-x-10x,=-13,(②,④)15,-2xz+5x,+3x,=-6.-5x2-%g-9x4=4.[x,+3x+2x=+x%2-x3-10x4=-13,③+②·23x,-17x4=-11,+②·5-6x,-59x4=-71.4.[x,+3x,+x,+2x,=x2-x-10x,=-13(2)3x,-17x==11,④+③·2-93x=-93.乘这个方程得,,=1.然方程组（2）的最后一个方程是x的一次方程，用一93后往回代人（2)的第3,21个方程，相继求得，=2,x，=-1,x，=3.于是（3,-1.2.1)
3$1高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法是原方程组（1）的唯一的一个解。像（2）这样形状的方程组称为阶梯形方程组，从例1的求解过程看出，我们对线性方程组作了以下三种变换：1°把一个方程的倍数加到另一个方程上；2°互换两个方程的位置；3°用一个非零数乘某一个方程.这三种变换称为线性方程组的初等变换.经过初等变换，把原方程组变成阶梯形方程组，然后去解阶梯形方程组（从最后一个方程开始，逐次往上解），求得的解就是原方程组的解，其理由在下一段给出根据线性方程组的解的定义和等式的性质容易证明，线性方程组经过1型初等变换，得到的方程组的解集与原方程组的解集相等，此时称这两个方程组同解.同样容易证明，经过2°型（或3°型）初等变换得到的方程组与原方程组同解因此，经过一系列初等变换化成的阶梯形方程组与原线性方程组同解.这说明了例1中原线性方程组有唯一的一个解：（3，-1,2.1）T例1的求解过程中，只是对线性方程组的系数和常数项进行了运算.因此，为了书写简便，对于一个线性方程组可以只写出它的系数和常数项，并且把它们按照原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵.而只列出系数的表称为方程组的系数矩阵.例1中线性方程组（1）的增广矩阵和系数矩阵依次是3231/14)12)44.32-3632-34-54111-1-51-1211-6-5271-6线性方程组可以用由它的系数和常数项排成的一张表来表示.许多实际问题和数学研究对象都可以用一张表来表示.因此我们建立一个数学模型来统一地深人地研究这种表定义1由s·m个数排成s行、m列的一张表称为一个sxm矩阵，其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素，第i行与第列交叉位置的元素称为（i、元例如，线性方程组（1）的增厂矩阵的（2，4）元是-3矩阵通常用大写英文字母A，BC，·简单地表示.一个sxm矩阵可以简单地记作Am，它的（ij）元记作A（i;j）).如果矩阵A的（ij)元是au，则可以把矩阵A记作（a）.元素全为0的矩阵称为零矩阵，简记作0.s行m列的零矩阵可以记成0xm如果一个矩阵A的行数与列数相等，则称它为方阵，m行m列的方阵也称
4第1章线性方程组为m级矩阵.本章和第2，3章围绕线性方程组来研究矩阵.第4，5，6章将深入地研究矩阵的运算和其他性质，利用线性方程组的增广矩阵，我们可以把例1的求解过程按照下述格式来写.例1求线性方程组（1）的解解31214)3426-3411.51-1-2751-63124)(1②+①·(-3)③+@.1059 61-@+@·(-2)053152-0110 13)132(114)01~ 13110(②.④)315025- 6)05-91-2314)1?+@:2010- 1311?+②.500317- 11-00659-71)2314)(1010= 1311@+?·2(3)00- 11317-0009393-2314)(1?01110139300317- 11011J000312)?+@·1771②+@.1000-311-①+?·(-2)6003000101
5$17高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法3102)(11?:0-31-10320010100013000)(1②+3:1000-11①+?·(-1)20001100010003)10100-1①+②·(-3)(4)0200110001最后这个矩阵表示的线性方程组是[x, = 3,x, =-1,(5)x,=2,(x) = 1.从而得到原线性方程组（1）的唯一解是（3，-1，2，1）从上述求解过程看出，我们对线性方程组的增广矩阵作了以下三种变换：1°把一行的倍数加到另一行上；2°互换两行的位置；3°用一个非零数乘某一行这三种变换称为矩阵的初等行变换在例1的求解过程中，先把增广矩阵经过初等行变换化成了（3）式所示的矩阵，像这样的矩阵称为阶梯形矩阵.它的特点是：（1）元素全为0的行（称为零行）在下方（如果有零行的话）（2）元素不全为0的行（称为非零行），从左边数起第一个不为0的元素称为主元.各个非零行的主元的列指标随着行指标的递增而严格增大，在例1的求解过程中，我们对阶梯形矩阵（3）继续作初等行变换，直至化成（4）式所示的矩阵，像这样的矩阵称为简化行阶梯形矩阵.它的特点是：（1）它是阶梯形矩阵：（2）每个非零行的主元都是1：（3）每个主元所在列的其余元素都是0.在解线性方程组时，把它的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，写出