第一版序言为了把学生培养成为面向21世纪的高水平人才，作者积多年讲授高等代数、抽象代数和群表示论等课程的经验以及从事科研工作的体会，写了一套高等代数讲义，用这套讲义给北京大学数学系和概率统计系94级学生讲授高等代数课，取得了很好的教学效果.接着又给这两个系的95级学生讲授此课，进一步修改这套讲义，现分上、下两册出版、这套教材从我国的实际情况出发，面向21世纪，尝试对高等代数的教学内容进行一些改革，主要有以下儿方面：努力使教材现代化.21世纪的人才需要掌握现代数学的思想和方法为此，本书注意渗透现代数学的一一些基本思想和观点·例如，用等价关系把集合划分的思想，从代数结构着眼处理问题的思同构分类的思想，态射（保持运算的映射）的观点等.用现代的观点组织统的教学内容.例如，通过讨论子空间的结构证明线性方程组有解距阵的相抵关系、相似关系、合同关系分别讨论矩阵的相抵分同分类，并且寻求每一种关系下的完全不变量：运用线性空间的同构或F上任一n维线性空间V与它的对偶空间V同构，以及VV·同构；在讲一元多项式的概念时，用态射的观点阐述质：用环同构的观点讨论数域K上的多项式与多项式函数还注意渗透现代数学的一些基本概念.例如、线性流形、商集等数的具体对象水到渠成地先后4引进了抽象代数的一些基本概念武的概念之后引进环的概念；在讲完多项式环之后引进任意域和有所，以及域的特征的概念；在讲了线性变换的运算后引进域上的代数的概念：在最后一章当学生已经熟悉了正交变换、酉变换和辛变换的性质后，引进群和子群的概念力图在教材中体现代数与几何、分析的联系.21世纪的数学，分析、代数、几何将会更加相互渗透和有机结合，因此要使学生从大学一年级开始就逐步培养把代数与几何、分析联系起来的能力·书中注意从几何直观或分析背景引出高等代数讨论的问题，在讲述高等代数的概念时列举几何或分析的例子，把高等代数的结论应用于解决几何或分析的问题.例如，介绍了行列式的几何意义：从几何空间的结构引出向量空间的基的概念：运用线性方程组的理论解决一些几何问题：从平面旋转的合成引出矩阵乘法的定义：从二次曲面方程的化简引出实对称矩阵的对角化以及实二次型通过正交替换化成标准形的问题，并且运用所得到
Ⅱ第一版序言的代数结论解决二次曲面方程的化简间题：从图数极值问题引出正定（负定）二次型的概念，并且运用正定（负定）矩阵解决多元函数的极值问题：在讲线性相关性时，讲述了几个几一1次可微函数线性无关的充分条件：从几何空间中的例子引出商空间的概念，等等.为了将线性代数的理论应用到分析上，为泛函分析打下基础，本书讨论的线性空间可以限维的，尽量不加有限维的限制，注重联系实际，加强应用.面向21世数学系不仅要培养从事数学科研和教学的人才，而且要培养在其他领域工作的人才.因此要努力培养学生运用数学理论解决实际问题和其他领域中的间可题的能力：本书在讲完线性万程组的理论后，用它解决平板受热问题：讲了矩阵可对角化的条件后，用它解决色盲遗传问题在讲了矩阵的运算之后，解决区组设计、图论、数论中的一些问题：在讲了一元多项式环的通用性质后，用它证明组合数的一些公式等.考虑到矩阵在实际间题和许多领域中有广泛应用，本书不仅把矩阵贯穿始终，而且把矩阵的运算，矩阵的相抵分类、相似分类、合同分类集中在一起讲授，并且加强了矩阵的分块，矩阵的“打洞”以及巧用特殊矩阵的训练；讲述了Binet-Cauchy公式及其应用，考虑到有限域上的线性空间在计算机以及通讯编码中有重要应用，书中讨论的线性空间是任意域上的，不局限于数域.考虑到现代物理以及一些数学分支中的需要，加强了酉空间的内容，介绍了作为爱因斯坦相对论基础的闵可夫斯基空间，并且讨论了一般的正交空间以及辛空间，提高数学素质，加强能力培养.21世纪所需要的人才应当有较高的数学素质和较强的分析问题、解决问题的能力，数学素质包括提出数学问题、理解力、逻辑思维、抽象思维、创造性等几个方面为了从大学一年级开始就着力培养学生的数学素质，本书在每一单元的开头都要提出问题，然后阐述解决问题的想法，经过抽象思维和逻辑思维一步一步地去解决这些问题，书中特别注意讲清楚想法（idea）·例如，在研究线性方程组有无解的判定时为什么会想到去研究n元有序数组的向量空间的结构？在讨论有理系数多项式的因式分解时怎么会想到引进本原多项式的概念？在研究不可以对角化的线性变换的结构时如何想到最小多项式的因式分解并且讨论相应线性变换的多项式核之间的关系？复线性空间上内积的定义为什么与实线性空间上内积的定义不同？在任意域上的线性空间中如何引进度量？为什么只有两种度量：对称双线性函数或者斜对称双线性函数，而不用一般的双线性函数？等等，书中都给子了清晰的回答，为了培养学生的阅读、理解能力和扩大知识面，书中有较多的例题，并且有密切配合正文的加“*”号的章节内容和一些阅读材料.有些例题不必在课堂上讲授，留给学生自己看.加“*”号的内容和阅读材料不作为教学要求，供有兴趣的学生自学.本书配备了相当丰富的习题（每一节后面配有习题，每一章后面还有补充题），有的是为了使学生理解正文的概念，掌握正文中的定理和方法，学会重要的解题方法和
II第一版序言技巧，有的是正文内容的补充和拓宽，有的是应用.通过做题可以培养学生分析问题和解决问题的能力，习题中加“*”号的题以及补充题不作为教学要求，供学生选做.本书内容的安排力求符合人们认识事物的客观规律，学生从中学进入大学，有一个学习方法的适应过程.为了帮助学生树立信心适应大学的学习，我们把高等代数研究的具体对象放在前半部分，而把抽象对象放在后半部分全书分为四部分，第一部分是线性方程组，几元有序数组的向量空间和矩阵的理论，包括线性方程组的解法、行列式、几元有序数组的向量空间、线性方程组的理论、矩阵的运算、矩阵的相抵分类与相似分类、二次型与矩阵的合同分类.第二部分是一元多项式环与多元多项式环的理论.第三部分是线性空间和线性映射的理论，包括任意域上的线性空间、线性映射和线性变换、线性变换的Jordan标准形、线性函数和双线性函数.第四部分是具有度量的线性空间的理论，包括欧几里得空间、西空间、正交空间、辛空间本书可作为大学数学系、概率统计系、应用数学系的高等代数教材，上、下册共讲授两个学期，还可作为大专院校有关教师和学生的参考书，作者衷心感谢刘旭峰博士，他通读了全书，并提出了一些宝贵的建议，特别要感谢本书的责任编辑胡乃图，他为本书的编辑出版付出了辛勤的劳动，书中可能会有考虑不周和疏漏之处，热诚欢迎同行和读者批评指正，丘维声1996年2月于北京大学燕北园
目录第1章线性方程组g1高斯（Gauss）-若尔当（Jordan）算法992线性方程组的解的情况及其判别准则83数域1517应用与实验课题：配制食品模型第2章行列式18$119n元排列22s2n阶行列式的定义2683行列式的性质3584行列式按一行（列）展开$5克拉默（Cramer）法则445096行列式按行（列）展开应用与实验课题：行列式在几何中的应用54第3章n维向量空间K5657g1n维向量空间K"及其子空间6392线性相关与线性无关的向量组93极大线性无关组，向量组的秩7184向量空间K*及其子空间的基与维数7695矩阵的秩8096线性方程组有解的充分必要条件8797齐次线性方程组的解集的结构908非齐次线性方程组的解集的结构96应用与实验课题：线性方程组在几何中的应用100第4章矩阵的运算10191矩阵的运算10382特殊矩阵11583矩阵乘积的秩与行列式121$4可逆矩阵128
目I录95矩阵的分块137144$6正交矩阵，欧几里得空间R152S7K"到K的线性映射157应用与实验课题：区组设计的关联矩阵：第5章159矩阵的相抵与相似159$1等价关系与集合的划分92161矩阵的相抵16483广义逆矩阵16954矩阵的相似17255矩阵的特征值和特征向量18086矩阵可对角化的条件183873实对称矩阵的对角化189应用与实验课题：色盲遗传模型第6章二次型，矩阵的合同19119181二次型和它的标准形20282实二次型的规范形20683正定二次型与正定矩阵211应用与实验课题：正（负）定矩阵在极值问题中的应用习题答案与提示213参考文献250--