VI第三版前言的Jordan块的总数N的公式，以及其中t级Jordan块的个数N（t）的计算公式由于它们都是由A-入,I的方幂的秩决定，因此除去Jordan块的排列次序外，A的Jordan标准形是唯一的，我们进一步证明了：定理4域F上n维线性空间V上的线性变换A有Jordan标准形的充分必要条件是，A的最小多项式m（入）在F[入]中能分解成一次因式的乘积由于A的最小多项式m（入）与A的特征多项式（入）在域F中有相同的根（重数可以不同），而且在域E（2F）中也有相同的根（重数可以不同），因此也有下述结论：域F上n维线性空间V上的线性变换A有Jordan标准形当且仅当A的特征多项式f（入）在F[入］中能分解成一次因式的乘积.我们在下册的第10章讲述了研究实内积空间的结构的3条途径：第1条途径是对于几维欧几里得空间V证明它存在标准正交基标准正交基的优越性之一是计算V中任意两个向量的内积非常容易，优越性之二是向量α的坐标的分量可以由内积给出（即α的Fourier展开）第2条途径是利用实内积空间的子空间.我们证明了：若U是实内积空间V的有限维子空间，则V有这样的直和分解：V=UU+.于是当V是有限维实内积空间（即欧几里得空间）时，U的一个标准正交基与U的一个标准正交基合起来是V的一个标准正交基.当V=UU时，有平行于U在U上的投影P，称它为V在U上的正交投影，α在Pu下的象α，称为α在U上的正交投影.α，EU是α在U上的正交投影当且仅当dα，α）≤d（α，），VeU.由此引出α在U上的最佳逼近元的概念.当U是有限维时，α在U上的最佳逼近元存在且唯一，它就是α在U上的正交投影.第3条途径是实内积空间的同构.两个有限维实内积空间（即欧几里得空间）同构的充分必要条件是它们的维数相同.从而任一几维欧几里得空间都与装备了标准内积的R"同构，其中一个同构映射是把α对应到α在V的一个标准正交基下的坐标.我们指出，实内积空间V到V的同构映射α的定义可以改成：“如果实内积空间V到V有一个满射α使得g保持内积不变，那么称为实内积空间V到V的一个同构映射”这是因为从α保持内积不变可以推出α保持长度不变，从而可以证明是V到V的线性映射，并且是单射，这样结合定义中是满射，便得出是双射我们在第10章4讲述了实内积空间V中与度量有关的变换：正交变换和对称变换.从平面上的平移、旋转、轴反射的共同点引出了正交变换的概念：实内积空间V到自身的满射A如果保持内积不变，那么称A是V上的一个正交变换.由于正交变换A保持内积不变，因此A保持向量的长度不变·从而可以证明A是V上的线性变换，且A是单射，结合定义中A是满射得出A是可逆的.于是
VII第三版前言实内积空间V上的一个变换A是正交变换当且仅当A是V到自身的一个同构映射，我们从实内积空间V在它的有限维子空间U上的正交投影的性质引出了对称变换的概念：实内积空间V上的一个变换A如果满足（Aα，β）=（α，Aβ），Vα，βEV，那么称A是V上的对称变换.我们证明了V上的对称变换一定是线性变换，我们从几何空间中的度量问题引出了实数域上的线性空间的内积的概念，研究了实内积空间从数学的角度讲，自然要在复数域上的线性空间V中引进内积的概念，研究复内积空间，但是我们不能满足于这点，我们还应该问：在什么背景下需要研究复数域上的线性空间及其上的内积？我们讲了一个例子：交流电路中复阻抗Z，它的模给出了这段交流电路的阻抗，它的一个辐角给出了这段电路的电压与电流的相位差.这表明物理学科中的不少问题用复数来刻画有优越性.因此我们需要研究复数域上的线性空间，引进内积的概念，研究复内积空间（即酉空间），我们讲述了复数域上的线性空间如何引进内积的概念，为什么不能是V上的双线性图数，只能是对第一个变量是线性的；为了使（α，α）为实数，要求内积具有Hermite（埃尔米特）性：（α，β）=（β，α），Vα，βeV；还要求内积具有正定性，于是给出了复数域上的线性空间V上的内积的定义，我们在下册第10章84的后面写了阅读材料七，探索n维欧几里得空间V上的正交变换A的最简单形式的矩阵表示是什么样子.基本思路仍是把V分解成A的不变子空间的直和，我们在下册第10章86的后面写了阅读材料八，探索并且证明了特征为2的域F上的几维线性空间V上的对称双线性函数的度量矩阵的最简单形式.在这次修订中，我们增加了一些重要的习题，在书未给出了这些题的解答的详细提示，本套教材从理论上，从数学系的后续课程以及物理等学科的需要上，精选了教学内容和习题，教学内容都是基础的、主要的内容，理论深刻，深入浅出；习题都是重要的题这些教学内容的深度和广度以及习题的题量对于大学一年级的高等代数课程的教学是合适的.需要了解高等代数的更多内容和做更多习题的读者，可以看作者写的为本套教材配套的内容全面、例题和习题丰富的《高等代数学习指导书》（上册、下册）（丘维声编著，清华大学出版社，2005年，2009年），本套书可作为综合性大学、理工科大学和高等师范院校的高等代数课程的教材
第三版前言IX感谢高等教育出版社的李落编辑和田玲编辑，她们为本书的出版付出了辛勤的劳动，真诚欢迎广大读者对本套教材提出宝贵意见，丘维声于北京大学数学科学学院2014年6月
第二版前言《高等代数》（上册、下册）自1996年出版以来，一直作为北京大学数学科学学院高等代数课程的教材，同时也被不少综合大学数学系作为教材.作者自1994年以来，使用此教材（含它的前身讲义）连续给1994级至2001级共八届学生讲授高等代数课，深受广大学生的欢迎.北京大学教学评估室和学生教育评估委员会先后对作者讲授的高等代数课进行了8次评估，作为评估内容之一，每次都对此教材作了充分肯定.现在已经进入21世纪，作者根据时代的要求，结合这8年使用此教材的教学经验，对教材进行修订，使之更完善，高等代数课程主要讲授线性代数，多项式理论，以及群、环、域的基本概念尤以线性代数占的比重大，线性代数是研究线性空间和线性映射的理论，它的初等部分是研究线性方程组和矩阵理论·作者在本书的修订过程中，精选了内容，着重阐述最基本的和应用广泛的内容：对于不那么基本，或者应用不那么广泛的内容则略为提及，不展开讲；有的内容则不讲.对于每一节配备的习题也作了精心挑选，随着时代的发展，计算机的普及，线性代数和多项式理论的重要性越来越被人们所认识.教好、学好高等代数课程，关键之一是编写出科学性强又深入浅出的教材.本书在如何让学生容易理解和掌握高等代数课程的内容上是下了很大工夫的，总是从学生熟悉的具体例子引出抽象的概念，从全书的内容体系直至每一节的内容如何简明易懂地讲授都作了精心推敲.全书先讲高等代数的具体对象：线性方程组、矩阵、数域K上几元有序数组的向量空间K和欧几里空间R、多项式，然后再讲抽象对象：线性空间和线性映射、欧几里得空间和酉空间、双线性函数和正交空间、辛空间（对于正交空间和辛空间只作简单介绍）本书强调讲道理，因为只有把道理讲清楚了，学生好高等代数.同时我们认为讲道理不等于形式的逻辑证明我们在为什么要引进每个重要概念上讲清楚了道理，在为什么要学习这些基本内容上讲清楚了道理，在如何证明定理上也讲了道理我们不仅强调要讲道理，而且力求把道理讲得简明易懂，我们认为高等代数课程的教学既要让学生掌握这门课程的基础知识2和基本方法，又要培养他们具有数学的思维方式只有按照数学的思维方式去学习数学，才能学好数学.而且学，有助于他们把今后肩负的工作做好，从而使他们终身受益.什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型：进行探索，通过直觉判断或者归纳
II第二版前言推理、类比推理作出猜测：然后进行深入分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序.这就是数学的思维方式，本书按照数学的思维方式编写每一节的内容，使学生在学习高等代数知识的同时，受到数学思维方式的熏陶，日积月累地培养学生具有数学的思维方式，提高学生的素质，为了让学生了解高等代数在数学的其他分支以及实际问题中的应用，增强动手能力，本书在每一章的后面都配备了“应用与实验课题”，供学生自己阅读和动手解决.有的应用课题需要使用计算机的数学软件，否则手算太费时间，本书的每一节都配备了经过精心挑选的适量习题，在书末附有习题解答与提示，为了帮助学生学好高等代数课，我们还编写了《高等代数学习指导书》（上册、下册）.其内容包括基本理论的精华，如何在理论的指导下分析问题和解决问题，典型例题的解题思路和详细解答，拓宽知识面的阅读材料，经过挑选的丰富多彩的习题以及习题的解答和提示，本书（上册和下册）可作为综合大学、理工科大学和师范院校的数学系、应用数学系和概率统计系的高等代数课程的教材，上册供第一学期使用，下册供第二学期使用每学期的周学时可为4+2或4+1或4（4+2是指每周讲课4学时，习题课2学时，4+1的含义类似）.本书上册还可以作为综合大学理工科大学等高等院校的线性代数课程的教材。本书的第一版和这次修订先后获得1996年度和2001年度北京大学主干基础课高等代数课程建设项目的资助，特此向北京大学教务部（教务处）表示衷心感谢，在这次修订过程中，得到北京大学数学科学学院院长张继平教授的关心和支持，特此向他表示心感谢.作者还要向这几年来使用本教材的所有教师表示感谢，作者衷心感谢本书的责任编辑胡乃固编审，他为本书的编辑出版付出了辛勤劳动作者热诚欢迎广大读者对本教材提出宝贵意见，丘维声于北京大学数学科学学院2001年12月