定理2（极值第二判别法）设函数f(x)在，点x处具有 二阶导数，且fxo)口0，fx)口0 (I)若fx)口0，则f(x)在点xo取极大值； (2)若f)☐0，则f(x)在点xo取极小值 证：(1)fxo)0lim )口fC) ▣lim ( x00 x口xo x06x□x0 由fo)口0知，存在口口0，当0口x□x口口时 f(x)o x口xo 故当x□口口x口x时，fx)口0 当x口x口x00时，fx)口0， 由第一判别法知f(x)在x,取极大值 (2)类似可证
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证
例2.求函数f(x)口(x2□1)3☐1的极值 解：1)求导数 f)☐6x(x2☐1)2.f0x)☐6(x2☐1)(5x2☐1) 2)求驻点 令fx)□0，得驻点x1口口，x2□0，x3☐1 3)判别 因f0)☐6口0，故f(0)口0为极小值： 又f口)口f四)口0，故需用第一判别法判别 由于fx)在x口▣左右邻域内不变号 口f(x)在x口口没有极值
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别
定理3（判别法的推广：拐点的判别法） 具有三阶导数，且 则f(x)的图形经过点x0由凹变凸； 则f(x)的图形经过点xo由凸变凹， 所以 如：对于 且
定理3 (判别法的推广:拐点的判别法) 具有三阶导数 , 且 则 的图形经过点 由凹变凸; 则 的图形经过点 由凸变凹. 所以 如： 对于 且