注意:对于具体给定的实数a,幂函数y=x“的定义域与可导范 围可能扩大,例如 y=x”(n为自然数)的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 x∈(-∞,+∞); y=1(n为自然数)的定义域为(∞,0(0+40),它的导函数为 x∈(-∞,0)∪(0,+∞) 2 y=x3的定义域为(-∞,+∞),它的导函数为 2 0)(0,+∞) y=x2的定义域为[+),它的导函数为 x∈
注意：对于具体给定的实数 a，幂函数 y x a = 的定义域与可导范 围可能扩大，例如： n y x = （ n为自然数）的定义域为(,) −∞ +∞ ，它的导函数为 1, (,) n y nx x − ′ = ∈ −∞ +∞ ； 1 n y x = （ n为自然数）的定义域为( ,0) (0, ) −∞ ∪ +∞ ，它的导函数为 1 , ( ,0) (0, ) n n y x x + − ′ = ∈ −∞ ∪ +∞ ； 2 3 y = x 的定义域为(,) −∞ +∞ ，它的导函数为 3 2 , ( ,0) (0, ) 3 y x x ′ = ∈ −∞ ∪ +∞ ； 1 2 y = x 的定义域为[0, + ∞ ) ，它的导函数为 1 , (0, ) 2 y x x ′ = ∈ +∞
求导的四则运算法则 定理43.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c和C2,它们的线性组合c1f(x)+g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 [Cf(x)+C28(x)=cf(x)+c2g(x) 证由∫(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 cf(x)+C2g(x)=lim [cf(x+Ax)+C28(x+Ax)-[cf(x)+c2g(x) Ax→)0 △x f(x+△x)-f(x) g(x+△x)-g(x) C m Ax→0 c1f(x)+c28(x) 证毕
求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f x( )和 g x( )在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2，它们的线性组合cf x cgx 1 2 () ) + ( 也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [ ( ) )] ( ) ) cf x cgx cf x cg x 12 1 2 + ( ′ = ′ + ′( 。 证 由 f x( )和 g x( )可导性,根据定义，可得 [ ] 1 2 c f () () x c g x ′ + = [ 1 2 12 ] [ ] 0 ( ) ( ) () () limx c f x xc g xx c f x c g x Δ → x +Δ + +Δ − + Δ = 1 0 ( ) () lim x f x x f x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ + 2 0 ( ) () lim x g x x g x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ = 1 2 cf x cg x ′( ) ( ). + ′ 证毕
求导的四则运算法则 定理43.1设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的,则对任意 常数和C2,它们的线性组合cf(x)+c2g(x)也在该区间上可导,且满 足如下的线性运算关系 c1f(x)+c28(x)y=c1f'(x)+c28'(x) 证由∫(x)和g(x)可导性,根据定义,可得 /()+g()=in/(x+4)+sx+△)-()+8(x) Ax→0 △x f(x+△x)-f(x) C, lim 8(x+Ar)-g(x) Ax→0 c1f(x)+c28(x) 证毕 对于函数c1f(x)+c2g(x)的微分,也有类似的结果: d[c;f(x)+c28(x)]=c[f(x)]+c2d[g(x)]
对于函数cf x cgx 1 2 () ) + ( 的微分，也有类似的结果： )][)]([)])([ 1 2 1 2 d + ( = d + d (xgcxfcxgcxfc 。 求导的四则运算法则 定理4.3.1 设 f x( )和 g x( )在某一区间上都是可导的,则对任意 常数c1和c2，它们的线性组合cf x cgx 1 2 () ) + ( 也在该区间上可导，且满 足如下的线性运算关系 [ ( ) )] ( ) ) cf x cgx cf x cg x 12 1 2 + ( ′ = ′ + ′( 。 证 由 f x( )和 g x( )可导性,根据定义，可得 [ ] 1 2 c f () () x c g x ′ + = [ 1 2 12 ] [ ] 0 ( ) ( ) () () limx c f x xc g xx c f x c g x Δ → x +Δ + +Δ − + Δ = 1 0 ( ) () lim x f x x f x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ + 2 0 ( ) () lim x g x x g x c Δ → x + Δ − ⋅ Δ = 1 2 cf x cg x ′( ) ( ). + ′ 证毕
因为lgx=mx,由定理43,1和对数函数的导数公式,有 (n x) xina 例4.3.5求y=5ogx+3x的导函数(a>0.,a≠1)。 解 y=(5log2x+3√x)=5( doga x)+3(√x 53 xlna2√x
因为 a x x a ln ln log = ，由定理4.3.1和对数函数的导数公式，有 ( ) ax x a x a ln 1 )(ln ln1 log = ′ = ′ 。 例4.3.5 求 xxy a += 3log5 的导函数 > aa ≠ )1,0( 。 解 5 3 (5log 3 ) 5(log ) 3( ) . ln 2 a a y xx x x x a x ′ ′ ′′ = += + =+