向量在三维的情况上海饰烧大筝Shanghai Normal Universitx二维向量可以视作在2维xOy平面上从(0,0)指向(x，y）的一个有向线段。y三维向量也是类似的，只不过是在3维空间中从(0,0,0)指向（x,y,z)的一个有向线段12比如考察向量u：z3U21
向量在三维的情况 • 二维向量 " x y # 可以视作在 2 维 xOy 平面上从 (0, 0) 指向 (x, y) 的一个有向线段。 • 三维向量也是类似的，只不过是在 3 维空间中从 (0, 0, 0) 指向 (x, y, z) 的一个有向线段， 比如考察向量 u = 1 2 3 ： u x y z 21
上海师统大学三维向量的线性组合Shanghai Normal University给定3维的向量：131其线性组合也是类似的1u=lu031u+2v351u+4v-2W3-22
三维向量的线性组合 给定 3 维的向量： u = 103 , v = 121 , w = 23− 1 其线性组合也是类似的： u = 1 u = 103 u + 2 v = 103 + 2 121 = 345 u + 4 v − 2 w = 103 + 4 121 − 2 23− 1 = 129 22
三个问题上海师坛大学1Shanghai NormalUniversit假设u.v,w是三维空间的三个向量·所有形如cu的线性组合对应的几何直观是什么？·所有形如cu十dv的线性组合对应的几何直观是什么？·所有形如cu+dv+ew的线性组合对应的几何直观是什么？答案当然依赖于u,VW的具体取值，但是我们可以通过一些例子来感受一下。23
三个问题 假设 u, v, w 是三维空间的三个向量： • 所有形如 cu 的线性组合对应的几何直观是什么？ • 所有形如 cu + dv 的线性组合对应的几何直观是什么？ • 所有形如 cu + dv + ew 的线性组合对应的几何直观是什么？ 答案当然依赖于 u, v, w 的具体取值，但是我们可以通过一些例子来感受一下。 23
三个问题 (II)上海饰烧大筝Shanghai Normal Universit我们考虑之前的三个向量：[i23u:2WV13-11.形如cu的线性组合填满了一条通过（0.0.0）的线，2.形如cu+dv的线性组合填满了一个通过(0,0,0)的平面。。(2,3,-1)便不在此平面上，因此w无法表示成cu+dv的线性组合。3.形如cu+dv+ew的线性组合填满了整个三维空间。。这意味着对于任何的a,b.cERx+y+2zab2y+ 3z=3x+y-zc-存在一个解。24
三个问题 (II) 我们考虑之前的三个向量： u = 1 0 3 , v = 1 2 1 , w = 2 3 −1 1. 形如 cu 的线性组合填满了一条通过 (0, 0, 0) 的线。 2. 形如 cu + dv 的线性组合填满了一个通过 (0, 0, 0) 的平面。 ◦ (2, 3, −1) 便不在此平面上，因此 w 无法表示成 cu + dv 的线性组合。 3. 形如 cu + dv + ew 的线性组合填满了整个三维空间。 ◦ 这意味着对于任何的 a, b, c ∈ R x + y + 2z = a 2y + 3z = b 3x + y − z = c 存在一个解。 24
一个例子上海饰境大学Shanghai Normal University问题1.C描述一下由向量u的线性组合在三维空间中所组成的平面。-解2.形如cu+dv的线性组合填满了一个通过(0.0.0)的平面，我们有：ccu+dv=c+ddc,d是任意的，所以该平面包含了所有第二维是第一维和第三维的和的向量。25
一个例子 问题 1. 描述一下由向量 u = 1 1 0 , v = 0 1 1 的线性组合在三维空间中所组成的平面。 解 2. 形如 cu + dv 的线性组合填满了一个通过 (0, 0, 0) 的平面，我们有： cu + dv = c c + d d c, d 是任意的，所以该平面包含了所有第二维是第一维和第三维的和的向量。 25