阶段总结上海师烧大学Shanghai Normal University1.二维向量是一个具有两个分量的有序对，可以视作二维平面原点出发的一个有向线段。2.向量的加法和数乘是针对对应分量进行操作。3.向量之间的线性组合是指形如cu+dv+ew的向量。4.在三维空间中，向量的线性组合可以填满一条线，一个平面，或者整个三维空间。26
阶段总结 1. 二维向量是一个具有两个分量的有序对，可以视作二维平面原点出发的一个有向线段。 2. 向量的加法和数乘是针对对应分量进行操作。 3. 向量之间的线性组合是指形如 cu + dv + ew 的向量。 4. 在三维空间中，向量的线性组合可以填满一条线，一个平面，或者整个三维空间。 26
向量（Vectors）向量长度和点积
向量 (Vectors) 向量长度和点积
向量的一些几何性质上海饰境大筝Shanghai NormalUniversit符号说明ui为了节省空间，列向量U=有时使用(ui,u2,u3）表示。u3我们来考察两维中的向量，给定两个向量u=(ui,2)，v=(vi,V2)：1.向量u的长度[u是多少？ull=y+2.向量u与v的夹角e是多少？u.vcOseIulllvll这些问题我们都可以使用点积（dotproduct)的概念来解决。28
向量的一些几何性质 符号说明 为了节省空间，列向量 u = u1 u2 u3 有时使用 (u1, u2, u3) 表示。 我们来考察两维中的向量，给定两个向量 u = (u1, u2), v = (v1, v2)： 1. 向量 u 的长度 kuk 是多少？ kuk = q u 2 1 + u 2 2 2. 向量 u 与 v 的夹角 θ 是多少？ cos θ = u · v kukkvk 这些问题我们都可以使用点积 (dot product) 的概念来解决。 28
点积（DotProducts）上海饰烧大筝Shanghai Normal University定义3[点积]向量u=(u1,u2),V=(vi,v2)的点积u·定义为u.v=uivi+2v2般的，对于向量u=(u1u2,...,un），=(vi,v2,.,Vn)，其点积定义为1u.V=uivi+u2v2+.+unVn=uivi二1点积的一些性质1u和y是垂直的（perpendicular）当且仅当y·y=02点积是可交换的，即u·v=vu。29
点积 (Dot Products) 定义 3 [点积]. 向量 u = (u1, u2), v = (v1, v2) 的点积 u · v 定义为： u · v = u1v1 + u2v2 一般的，对于向量 u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn)，其点积定义为： u · v = u1v1 + u2v2 + · · · + unvn = Xn i=1 uivi 点积的一些性质 1. u 和 v 是垂直的 (perpendicular) 当且仅当 u · v = 0。 2. 点积是可交换的，即 u · v = v · u。 29
向量的长度上海饰境大学Shanghai Normal University定义4[向量的长度]向量u=(u1,u2..,un）的长度[u|定义为lull=Vu+u++u=vu.u勾股定理（PythagoreanLaw）u=(2.4)(0.2)V2024(4,0)一般来说，对于垂直的u和vu+=u+=u-30
向量的长度 定义 4 [向量的长度]. 向量 u = (u1, u2, . . . , un) 的长度 kuk 定义为： kuk = q u 2 1 + u 2 2 + · · · + u2 n = √ u · u 勾股定理 (Pythagorean Law) 4 2 √ 20 (0, 2) (4, 0) u = (2, 4) 一般来说，对于垂直的 u 和 v： kuk 2 + kvk 2 = ku + vk 2 = ku − vk 2 30