3.(Co:2)在复数域C上的线性空间中, 如果线性变换的特征多项式没有重根,则司 对角化.(证明 4.s∈L(),可对角化→∑dmyx=n n=dimV,而1,42,…,λ是的全部特征值) 5.A∈L(V)可对角化 令dim=的重du
6 3. (Cor.2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 A 的特征多项式没有重根，则 A 可 对角化. 证明. 1 dim . , i t i V n = = 1 2 t (n= dim V ,而 , , 是A 的全部特征值) 4. A L V( ), 可对角化 dim i = V i 的重shu 5. A L V( ) 可对角化
6.设为n维线性空间的一个线性变换, 若在某组基下的矩阵为对角矩阵 D 则1)的特征多项式就是 f()=(-4)(4-2)…(-2) 2)对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯 确定的,们就是的全部特征根(重根按重数计算
7 6. 设 A 为n维线性空间V的一个线性变换， 若 A 在某组基下的矩阵为对角矩阵 1 2 n D = 则 1） A 的特征多项式就是 f ( ) = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) 2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一 确定的,它们就是 A 的全部特征根(重根按重数计算)
、对角化的一般方法 设为维线性空间V的一个线性变换,1,E2,…,En 为V的一组基,。在这组基下的矩阵为A 步骤: 1°求出矩阵A的全部特征值1,12…,2 2°对每一个特征值λ2,求出齐次线性方程组 (E-4)X=0,i=12…k 的一个基础解系(此即∞的属于λ,的全部线性无关 的特征向量在基61,42,…“,5n下的坐标)
8 三、对角化的一般方法 1° 求出矩阵A的全部特征值 1 2 , , , . k 2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组 ( ) 0, 1.2. iE A X i k − = = 设 A 为维线性空间V的一个线性变换， 1 2 , , , n 为V的一组基， A 在这组基下的矩阵为A. 步骤: 的一个基础解系（此即 A 的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 2 下的坐标）. , , , n
3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n,则 x有n个线性无关的特征向量1,m2,…,们n,从而 (或矩阵A)可对角化.以这些解向量为列,作一个 n阶方阵T,则T可逆,TAT是对角矩阵.而且 T就是基612,…En到基71,2,…n的过渡矩阵
9 3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则 （或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且 1 T AT − A 有n个线性无关的特征向量 1 2 , , , , n 从而 A T就是基 到基 1 2 的过渡矩阵. , , , 1 2 n , , , n