4.5.2齐次线性方程组的解的结构 中定理4-22若x=5,x=52为Ax=0的解,则 x=k151+k252 中也是Ax=0的解 证明∵A51=0,A2=0 工工工 A(k51+k2)=k451+k2452=0 故x=k151+k22也是Ax=0的解 上页
4.5.2 齐次线性方程组的解的结构 定理4-22 若 x = 1 ,x = 2 为 Ax = 0 的解，则 1 1 2 2 x k k = + 也是 Ax = 0 的解. 证明 + = + = A k k k A k A ( 1 1 2 2 1 1 2 2 ) 0 A 1 = 0, A 2 = 0 1 1 2 2 故 也是 的解 x k k Ax = + = 0
王注意: 本性质对有限多个解也成立 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 王所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 王性方程组=0的解空间 上页
•由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 注意： •本性质对有限多个解也成立
王定义416:基础解系的定义 71,m2”,m称为齐次性方程组Ax=0的基础 解系,如果 王(nm,n,m是4x=0一组线性无关的解 庄(2)4x=0的任一解都可由v,m,…,m线性表 出 王如果n,n2,,m为齐次线性方程组Ax=0 牛的一组基础解系那么,Ax=0的通解可表示为 x=k1m+k2m2+…+km 其中k1,k2,…,kn,是任意常数 上页
1 2 , , , 0 , t称为齐次性方程组 的基础 Ax = 解系 如果 (1) , , , 0 ; 1 2 t是Ax = 的一组线性无关的解 . (2) 0 , , , 1 2 出 Ax = 的任一解都可由 t线性表 定义4-16：基础解系的定义 的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 0 = = Ax t Ax , , 1 ,2 ,, 0 x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2 kn−r是任意常数
基础解系又称为解空间的基 定理4-23设A是m×m矩阵,如果r(A)=r<n 则齐次线性方程组A灬x=0的基础解析存在, 且每个基础解析中含n-r个解向量 工工工 上页
基础解系又称为解空间的基 ( ) 0 . m n m n r A r n A x n r = = − 定理4-23 设A是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解析存在， 且每个基础解析中含 个解向量