定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点az(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数axα-为必存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分OzOzAx+dzAVaxay证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分P'(x+△x,y+Ay)EP的某个邻域△z = AAx +BAy+ o(p)总成立
定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 xz 、 yz 必存在，且函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全微分 为 y yz x xz dz + = ． 证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立
此时p=[△x|,当△y=0时，上式仍成立，f(x + 4x, y) - f(x, y) = A . △x +o(I△x D,f(x+△x,y)- f(x,y)Oz: AlimAraxAr-→0Oz同理可得B:ay一元函数在某点的导数存在<>微分存在。多元函数的各偏导数存在←全微分存在。xyx+y*+0例如 f(x,J)=/x+yLox?+y?=0
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 当y = 0时，上式仍成立， 此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 , x z = 同理可得 . y z B = 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如 . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 + = + = + x y x y x y xy f x y