《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩，并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理 定理1初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩， 证只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩 即可 定理2初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间的线 性关系。 为了弄清定理2的含义，我们来看下面题目

第二章 矩阵与向量 例 1 和例 2 中矩阵的行秩等于列秩，并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 定理2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的线 性关系. 证 只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩 即可. 为了弄清定理2的含义，我们来看下面题目

第二章矩阵与向量 0 例3设矩阵A= 0 2 -1 5 其列向量满足 6 0 2 4 1,2,3,4间有线性关系：04=a1+202-a3 解对矩阵A作如下初等行变换： 「1 1 3 01 「1 1 3 07 3-6 53+32 A 0 2 -1 5 0 2 -1 5 10 -6-16 4 00-1919 1 07 「1 10 3 19 r-35 0 2 -1 5 0 2 0 0 0 1 -1 0 0 1

第二章 矩阵与向量 例3 设矩阵         6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A 其列向量满足 1 2 3 4  , , , 间有线性关系： 4 1 2 3     2  对矩阵A作如下初等行变换：                    0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 3 6 1 3 3 2 r r r r A                    0 0 1 1 0 2 0 4 1 1 0 3 ~ 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 31 2 3 3 3 ) 19 1 ( r r r r r 解

第二章矩阵与向量 103 100 1 - 010 2 0 10 2 =B 001-1001-1 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到的. 易验证B的列向量B,B2,P,B间亦有线性关系： B4=B1+2B2-B3 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到 的矩阵的列向量间同样存在上述线性关系。 由定理2，可得 推论1初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩 由此可得下面定理

第二章 矩阵与向量 B r r r                  0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 ~ 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 3 ~ 1 2 2 2 1 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到的. 易验证B的列向量 1 ,  2 ,  3 ,  4 间亦有线性关系：  4  1  2 2   3 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到 的矩阵的列向量间同样存在上述线性关系. 由定理2，可得 推论1 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩. 由此可得下面定理

第二章矩阵与向量 定理3矩阵的行秩等于列秩 证由于m×矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标 准形 0 0 0 0 0 1 0 0 0 I= 0 0 1 0 0 第r行 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 . 0 第r列 矩阵I的行、列秩等于r.由上面知，对A进行初等行、列 变换，它的行秩、列秩都不改变，所以A的行、列秩都应 等于，即A的行秩等于列秩

第二章 矩阵与向量 定理3 矩阵的行秩等于列秩. 证 由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标 准形 第 行 第 列 I r r                                0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 矩阵I 的行、列秩等于r . 由上面知，对A进行初等行、列 变换，它的行秩、列秩都不改变，所以A的行、列秩都应 等于r,即A的行秩等于列秩