西安毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY$4.4矩阵的逆可逆矩阵的概念可逆矩阵的判定、求法三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
西要毛子律技大枣XIDIANUNIVERSITY可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵注：①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作A-l.可逆矩阵A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵，且2)(A")"= A.③单位矩阵E可逆，且（E)=E
一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ( ) 1 1 A A. − − = ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 1 A . − ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ( ) 1 E E . − = ② 可逆矩阵A的逆矩阵 也是可逆矩阵，且 1 A −
西要毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法1、伴随矩阵定义设A,是矩阵A=(a,）nxn中元素a,的代数余子式，矩阵AuA14Ai2A22AA*=-Ain Azn ...Auan称为A的伴随矩阵性质： AA=A"A=|AE
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1、伴随矩阵 称为A的伴随矩阵. 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 性质： * * AA A A A E = = 余子式，矩阵 设 Aij 是矩阵 A a = ( )ij n n 中元素 aij 的代数
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证：由行列式按一行（列）展开公式Id.k=iakAii +ak2A2 +..+aknAin-0,k±id =|Ald.l=jauA, +aA, +..+anAn10,[+j立即可得Aauaa12A21YAr2Aa21a22a2nAA*AA.Aanan2annd000d0.= dE.同理，A*A= dE00d
证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A = d A = . 1 1 2 2 , 0, k i k i kn in d k i a A a A a A k i = + + + = 1 1 2 2 , 0, l j l j nl nj d l j a A a A a A l j = + + + = 0 0 0 0 . 0 0 d d dE d = = 同理, * A A dE =
西安毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2、定理：矩阵A可逆当且仅当|A+0，（即AA*A-1非退化的），且A证：若「A±0，由AA*=A"A=AEA*A*=E得A[AA*所以，A可逆，且Al反过来，若A可逆，则有 AA-1=E,两边取行列式，得|AA-=|E|=1．：[A|0
* 1 . A A A − 非退化的），且 = 证：若 A 0, 由 * * AA A A A E = = 所以，A可逆，且 * 1 . A A A − = 两边取行列式，得 1 A A E 1. − = = A 0. 2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0, （即A 得 * * A A A A E A A = = 反过来，若A可逆，则有 1 AA E, − =